Baccalauréat technologique 2016 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

correction de l'exercice 2

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

Considérons les deux nombres complexes $z_{1} = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ et $z_{2} = 1 - i \sqrt{3}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{π}{2}$ .
affirmation 1 : Le produit $z_{1} \times z_{2}$ est égal à $2 \sqrt{2} e^{i \frac{5 π}{12}}$ .
Déterminons la forme exponentielle du nombre complexe $z_{2} = 1 - i \sqrt{3}$ :
- Le module du nombre complexe $z_{2}$ est : $| z_{2} | = \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}} = 2$
- Un argument θ du nombre complexe $z_{2}$ est tel que : ${\begin{cases} \cos θ = \frac{1}{2} \\ \sin θ = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ . Soit $\arg (z) = - \frac{π}{3} [2 π]$ .
Ainsi $z_{2} = 2 e^{- i \frac{π}{3}}$ et, $\begin{array}{rcl} z_{1} \times z_{2} & = & \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}} \times 2 e^{- i \frac{π}{3}} \\ = & 2 \sqrt{2} e^{i (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{3})} \\ = & 2 \sqrt{2} e^{i \frac{5 π}{12}} \end{array}$
l'affirmation 1 est vraie.
affirmation 2 : La solution f de l'équation différentielle $y ″ + 4 y = 0$ qui vérifie $f (0) = - 1$ et $f' (0) = 2$ admet comme représentation graphique :
Les solutions de l'équation différentielle $y ″ + 4 y = 0$ avec $ω = 2$ sont les fonctions f de la forme $f : x \mapsto k \cos (2 x) + k' \sin (2 x)$
Or $f (0) = k = - 1$ d'où $f' (x) = 2 k' \cos (2 x) + 2 \sin (2 x)$ et $\begin{matrix} f' (0) = 2 & \Leftrightarrow & 2 k' = 2 \end{matrix}$
Soit $k' = 1$ . Ainsi, la solution f de l'équation différentielle $y ″ + 4 y = 0$ qui vérifie $f (0) = - 1$ et $f' (0) = 2$ est la fonction définie par $f (x) = \sin (2 x) - \cos (2 x)$ .
Comme pour tout réel x on a $- 1 ⩽ \sin (2 x) ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ - \cos (2 x) ⩽ 1$ , on en déduit que $- 2 ⩽ f (x) ⩽ 2$ .
l'affirmation 2 est fausse.
Courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f
affirmation 3 : La solution de l'équation $\ln (x + 3) = 5$ est $e^{5} - 3$ .
Pour tout réel $x > - 3$ on a : $\begin{array}{rcl} \ln (x + 3) = 5 & \Leftrightarrow & x + 3 = e^{5} \\ \Leftrightarrow & x = e^{5} - 3 \end{array}$
l'affirmation 3 est vraie.
La durée de vie en heures d'un certain type d'ampoules électriques est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,000125$ (exprimé en h).
affirmation 4 : En moyenne, la durée de vie d'une ampoule est 1250 h.
L'espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,000125$ est : $E (X) = \frac{1}{0,000125} = 8000$
l'affirmation 4 est fausse.
affirmation 5 : La fonction $F (x) = x \ln (x) - x + 2$ est une primitive de la fonction $f (x) = \ln (x)$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
La fonction F est dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ et, pour tout réel x strictement positif on a : $F' (x) = \ln (x) + x \times \frac{1}{x} - 1 = \ln (x)$
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, $F' (x) = f (x)$ donc F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
l'affirmation 5 est vraie.

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