Baccalauréat technologique 2016 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

correction de l'exercice 4

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{- 3}$ près.

Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large.
Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne $μ = 15$ et d'écart-type $σ = 0,02$ .
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

partie a

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle $[14,95; 15,05]$ .

Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
Une batterie est non conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, n'appartient pas à l'intervalle $[14,95; 15,05]$ .
$P (X \notin [14,95; 15,05]) = 1 - P (14,95 ⩽ X ⩽ 15,05) \approx 0,012$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme est 0,012.

L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de 2000 aux fabricants de vélos électriques. En moyenne, chaque lot de 2000 batteries en contient 24 non conformes.
On note p la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard 2000 batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de 2000 par une variable aléatoire Y.

Quelle loi suit la variable aléatoire Y ? Préciser ses paramètres.
La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler le prélèvement de 2000 batteries à un tirage aléatoire avec remise donc :
La variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres $n = 2000$ et $p = \frac{24}{2000} = 0,012$ .
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 30 batteries non conformes dans un lot de 2000 batteries.
$P (Y ⩾ 30) = 1 - P (Y ⩽ 29) \approx 0,131$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'il y ait au moins 30 batteries non conformes dans un lot de 2000 batteries est 0,131.

partie b

Dans le cadre d'un fonctionnement correct des machines de la chaîne de production, on admet que la proportion p de batteries non conformes est 1,2 %.

Le responsable de l'usine affirme qu'il ne vend pas de lot de 2000 batteries qui en contienne plus de 40 non conformes. Quelle est la fiabilité de cette affirmation ?
Justifier.

Comme $n = 2000 ⩾ 30$ , $n p = 2000 \times 0,012 ⩾ 5$ et $n (1 - p) = 2000 \times 0,988 ⩾ 5$ , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de batteries non conformes dans un échantillon de taille 2000 est : $[0,012 - 1,96 \times \sqrt{\frac{0,012 \times 0,988}{2000}}; 0,012 + 1,96 \times \sqrt{\frac{0,012 \times 0,988}{2000}}] \approx [0,007; 0,017]$

Soit un intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % du nombre de batteries non conformes dans un échantillon de taille 2000 : $I = [0,007 \times 2000; 0,017 \times 2000] = [14; 34]$

Avec un niveau de confiance de 95 % on accepte l'affirmation du responsable de l'usine.

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