sujet annulé : France métropolitaine 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un industriel étudie l'évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu'il l'a achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an.
Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2 % par an.
On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l'année 2000 + n par une suite $\left(U_n\right)$ . On a donc $U_0=\mathrm{120\; 000}$ .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, $U_n=\mathrm{120\; 000}\times {\mathrm{0,98}}^n$ .

   Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2 % par an. D'où pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=U_n\times \mathrm{0,98}$ .

   Ainsi, $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $U_0=\mathrm{120\; 000}$ .

   Donc pour tout entier naturel n, $U_n=\mathrm{120\; 000}\times {\mathrm{0,98}}^n$ .

   ---

2. 1. Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ?

      $$U_5=\mathrm{120\; 000}\times {\mathrm{0,98}}^5\approx \mathrm{108\; 470}$$

      En 2005, la production a été de 108 470 jouets.

      ---

   2. Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100 000.

      $$\begin{array}{llll}\mathrm{120\; 000}\times {\mathrm{0,98}}^n<\mathrm{100\; 000}& \iff & {\mathrm{0,98}}^n<{\displaystyle \frac{5}{6}}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,98}}^n\right)<\ln {\displaystyle \frac{5}{6}}\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,98}<\ln {\displaystyle \frac{5}{6}}\hfill & \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{6}}}{\ln \mathrm{0,98}}}\hfill & \ln \mathrm{0,98}<0\end{array}$$

      n est le plus petit entier supérieur à ${\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{6}}}{\ln \mathrm{0,98}}}\approx \mathrm{9,02}$ d'où $n=10$

      Le nombre de jouets fabriqués sera inférieur à 100 000 à partir de 2010.

      ---

   3. Cet industriel décide qu'il changera la machine lorsqu'elle produira moins de 90 000 jouets par an.
      Recopier et compléter les lignes 8 et 9 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel n tel que $U_n<\mathrm{90\; 000}$ .

      1	Variables :	A est un réel
      2		n est un entier naturel
      3
      4	Initialisation :	Affecter à A la valeur 120 000
      5		Affecter à n la valeur 0
      6
      7	Traitement :	Tant que $A⩾\mathrm{90\; 0000}$
      8		n prend la valeur $n+1$
      9		A prend la valeur $A\times \mathrm{0,98}$
      10		Fin Tant que
      11
      12	Sortie :	Afficher n

3. 1. Exprimer $1+\mathrm{0,98}+{\mathrm{0,98}}^2+\dots +{\mathrm{0,98}}^n$ en fonction de n.

      $$1+\mathrm{0,98}+{\mathrm{0,98}}^2+\dots +{\mathrm{0,98}}^n={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}}{1-\mathrm{0,98}}}=50\times \left(1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}\right)$$

      Ainsi, $1+\mathrm{0,98}+{\mathrm{0,98}}^2+\dots +{\mathrm{0,98}}^n=50\times \left(1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}\right)$

      ---

   2. On pose $S_n=U_0+U_1+\dots +U_n$ . Montrer que $S_n=\mathrm{6\; 000\; 000}\times \left(1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}\right)$ .

      $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $U_0=\mathrm{120\; 000}$ . D'où $$S_n=U_0+U_1+\dots +U_n=\mathrm{120\; 000}\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}}{1-\mathrm{0,98}}}=\mathrm{6\; 000\; 000}\times \left(1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}\right)$$

      Ainsi, $S_n=\mathrm{6\; 000\; 000}\times \left(1-{\mathrm{0,98}}^{n+1}\right)$ .

      ---

   3. En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production.

      Les quinze premières années vont de 2000 à 2014 : $$S_{14}=\mathrm{6\; 000\; 000}\times \left(1-{\mathrm{0,98}}^{15}\right)\approx \mathrm{1\; 568\; 585}$$

      Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production d'environ 1 568 585 jouets.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.