Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question la réponse exacte, on ne demande pas de justification.
Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour tout réel a non nul, le nombre réel est égal à :
a. | b. | c. | d. |
Pour tout réel a, le nombre réel est égal à :
a. | b. | c. | d. |
Pour tout réel , le nombre réel est égal à :
a. | b. | c. | d. |
On donne la fonction f définie sur l'intervalle par .
La dérivée de f est définie sur par :
a. | b. | c. | d. |
Dans cet exercice, les résultats seront donnés à près.
Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12.
Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans.
Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans.
Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.
Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque.
Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.
Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %.
Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ?
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année 2013 + n. On donne .
Justifier que, pour tout entier naturel n, on a .
On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
variables :
U, N
initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
traitement :
Tant que
U prend la valeur
N prend la valeur
Fin du Tant que
sortie :
Afficher N
À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus.
On appelle le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année 2013 + n.
Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
On admet que avec . On considère la suite définie, pour tout entier n, par .
Montrer que est une suite géométrique de raison et préciser son premier terme .
On admet que, pour tout entier naturel n : .
Déterminer la limite de .
En déduire la limite de .
Interpréter ce résultat.
Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.
On considère que :
Pour tout entier , on note la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n-ième jour. On a donc : .
Le 1er jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc .
Traduire les données par un graphe probabiliste.
Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.
Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.
Démontrer que, pour tout entier , on a : .
On considère la suite définie, pour tout entier , par .
Montrer que est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer puis en fonction de n.
Déterminer en justifiant la limite de .
Interpréter ce résultat.
On considère la fonction f définie sur dont la courbe représentative est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
Figure 1
On suppose que f est de la forme où a et b désignent deux constantes.
On sait que :
On note la fonction dérivée de f, définie sur .
Par lecture graphique, indiquer les valeurs de et .
Calculer .
En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant : .
Calculer a et b et donner l'expression de .
On admet que .
À l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale est comprise entre 2 et 4.
On considère F la fonction définie sur par . Montrer que F est une primitive de la fonction f sur .
Calculer la valeur exacte de et en donner une valeur approchée à près.
On considère G une autre primitive de f sur .
Parmi les trois courbes , et ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.
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