Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis éventuellement au millième.
Les parties A et B sont indépendantes.
On s'intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles.
La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines et . La machine remplit la bouteille de lait et la machine met le bouchon.
Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d'établir que 5 % des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8 % ont un bouchon. D'autre part, 4 % des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon.
On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :
Rappel des notations :
Si A et B sont deux évènements donnés, désigne la probabilité que l'évènement A se réalise et désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.
désigne l'évènement contraire de l'évènement A.
Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
Déterminer la probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu'elle ait un bouchon.
La probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu'elle ait un bouchon est égale à 0,912.
Montrer que la probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916.
Les évènements R et B sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or :
D'où
La probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916.
Sachant que la bouteille a un bouchon, déterminer la probabilité qu'elle soit correctement remplie.
La probabilité qu'une bouteille ayant un bouchon soit correctement remplie, est égale à 0,996.
Une étude sur les dix premières années a montré que la production journalière de bouteilles de lait dans cette entreprise peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne 2000 et d'écart type 200.
rappel :
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale alors :
Calculer la probabilité que la production journalière soit comprise entre 1800 et 2200 bouteilles.
X, suit la loi normale de moyenne 2000 et d'écart type 200 alors,
La probabilité que la production journalière soit comprise entre 1800 et 2200 bouteilles est égale à 0,683.
Le service maintenance doit intervenir sur les machines si la production journalière devient inférieure à 1600 bouteilles. Déterminer la probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines.
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ alors pour tout réel α :
Comme X, suit la loi normale de moyenne 2000 et d'écart type 200 alors,
La probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines est égale à 0,023.
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