Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet annulé : France métropolitaine 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis éventuellement au millième.
Les parties A et B sont indépendantes.

On s'intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles.

partie a : Étude du processus de mise en bouteille

La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines M1 et M2 . La machine M1 remplit la bouteille de lait et la machine M2 met le bouchon.
Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d'établir que 5 % des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8 % ont un bouchon. D'autre part, 4 % des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon.

On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :

  • R, l'évènement : « la bouteille est correctement remplie » ;
  • B, l'évènement: « la bouteille a un bouchon ».

Rappel des notations :

Si A et B sont deux évènements donnés, P(A) désigne la probabilité que l'évènement A se réalise et PB(A) désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.
A¯ désigne l'évènement contraire de l'évènement A.

  1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    • 5 % des bouteilles ne sont pas correctement remplies et parmi elles 8 % ont un bouchon d'où : P(R¯)=0,05 ; P(R)=1-0,05=0,95 et PR¯(B)=0,08 ; PR¯(B¯)=1-0,08=0,92
    • 4 % des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon d'où : PR(B¯)=0,04 ; PR(B)=1-0,04=0,96
    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer la probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu'elle ait un bouchon.

    P(RB)=PR(B)×P(R)=0,96×0,95=0,912

    La probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu'elle ait un bouchon est égale à 0,912.


  3. Montrer que la probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916.

    Les évènements R et B sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    P(B)=P(RB)+P(R¯B)

    Or : P(R¯B)=PR¯(B)×P(R¯) soit P(R¯B)=0,08×0,05=0,004

    D'où P(B)=0,912+0,004=0,916

    La probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916.


  4. Sachant que la bouteille a un bouchon, déterminer la probabilité qu'elle soit correctement remplie.

    PB(R)=P(RB)P(B) Soit PB(R)=0,9120,9160,996

    La probabilité qu'une bouteille ayant un bouchon soit correctement remplie, est égale à 0,996.


partie b : Production journalière

Une étude sur les dix premières années a montré que la production journalière de bouteilles de lait dans cette entreprise peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne 2000 et d'écart type 200.

rappel :

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝒩(μ;σ2) alors :

  • P(X[μ-σ;μ+σ])0,683
  • P(X[μ-2σ;μ+2σ])0,954
  • P(X[μ-3σ;μ+3σ])0,977
  1. Calculer la probabilité que la production journalière soit comprise entre 1800 et 2200 bouteilles.

    X, suit la loi normale de moyenne 2000 et d'écart type 200 alors, P(1800X2200)0,683

    La probabilité que la production journalière soit comprise entre 1800 et 2200 bouteilles est égale à 0,683.


  2. Le service maintenance doit intervenir sur les machines si la production journalière devient inférieure à 1600 bouteilles. Déterminer la probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines.

    Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ alors pour tout réel α : P(X<μ-α)=P(X>μ+α)=12×[1-P(μ-αXμ+α)]

    Comme X, suit la loi normale de moyenne 2000 et d'écart type 200 alors, P(X<1600)=12×[1-P(1600X2400)]=12×(1-0,954)0,023

    La probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines est égale à 0,023.



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