Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet annulé : France métropolitaine 2013

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHÉ installe deux machines : l'une ne sert que du café et l'autre ne sert que du thé.
Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l'entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. On suppose que le nombre total d'employés de l'entreprise reste constant au cours du temps.

La société CAFTHÉ pense que la machine à café sera toujours la plus utilisée. Une enquête, effectuée sur plusieurs jours, auprès des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que :

  • 97 % des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain.
  • 98 % des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain.

On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants.

Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café.
On note C l'état « L'employé choisit un café » et T l'état « L'employé choisit un thé ».
Pour tout entier naturel n non nul, on note :

  • cn la probabilité de l'évènement « un employé, pris au hasard, choisit un café le jour n » ;
  • tn la probabilité de l'évènement « un employé, pris au hasard, choisit un thé le jour n » ;
  • Pn la matrice (cntn) correspondant à l'état probabiliste le jour n .
  1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et T .

    L'enquête a montré que :

    • 97 % des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain. D'où pCn(Cn+1)=0,97 et pCn(Tn+1)=0,03
    • 98 % des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain. D'où pTn(Tn+1)=0,98 et pTn(Cn+1)=0,02

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer la matrice P1 donnant l'état probabiliste le premier jour.

    Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café d'où P1=(0,70,3)


  3. La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre C et T est M=(0,970,030,020,98) .
    Déterminer la probabilité, arrondie au centième, qu'un employé choisisse un thé le quatrième jour.

    P4=(0,70,3) ×(0,970,030,020,98)3(0,660,34)

    La probabilité, qu'un employé choisisse un thé le quatrième jour est égale à 0,34.


    1. Montrer que l'état stable est (0,40,6) .

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=(ct) vérifiant : (ct)=(ct) ×(0,970,030,020,98)(ct)=(0,97c+0,02t0,03c+0,98t)

      D'où c et t vérifient la relation c=0,97c+0,02t . Comme d'autre part, c+t=1 on en déduit que c et t sont solutions du système : {c=0,97c+0,02tc+t=1 {0,03c -0,02t=0c+t=1 {0,05c=0,02c+t=1 {c=0,4t=0,6

      L'état stable du système est P=(0,40,6) .


    2. Est-ce que la société CAFTHÉ avait raison quant à l'utilisation de la machine à café à long terme ?

      L'état probabiliste converge vers l'état stable P=(0,40,6) .

      Sur le long terme, d'un jour sur l'autre, 40 % des employés choisissent un café.


    1. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn . En déduire que pour tout entier n , on a cn+1=0,95 ×cn+0,02 .

      Pour tout entier n1 , Pn+1=Pn ×M(cn+1tn+1)=(cntn) ×(0,970,030,020,98)(cn+1tn+1)=(0,97cn+0,02tn0,03cn+0,98tn)

      Soit cn+1=0,97cn+0,02tn avec pour tout entier n1 , cn+tn=1 . D'où cn+1=0,97cn+0,02 ×(1 -cn)=0,95cn+0,02

      Ainsi, pour tout entier n1 , cn+1=0,95cn+0,02 .


    2. On considère l'algorithme suivant :

      Variables :

      A est un réel
      i et n sont des entiers naturels

      Entrée :

      Saisir n

      Initialisation :

      Affecter à A la Valeur 0,70

      Traitement :

      Pour i de 1 à n
      Affecter à A la valeur 0,95 × A + 0,02
      Fin Pour

      Sortie :

      Afficher A .

      En faisant apparaître les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égale à 3.
      Que permet de déterminer cet algorithme ?

      Valeur de i123
      Valeur de A0,7 ×0,95+0,02=0,6850,685 ×0,95+0,02=0,670650,67065 ×0,95+0,02=0,657213

      La valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égale à 3 est 0,657213.
      Cet algorithme permet de déterminer la probabilité qu'un employé choisisse un café le jour n+1 .



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