Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHÉ installe deux machines : l'une ne sert que du café et l'autre ne sert que du thé.
Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l'entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. On suppose que le nombre total d'employés de l'entreprise reste constant au cours du temps.
La société CAFTHÉ pense que la machine à café sera toujours la plus utilisée. Une enquête, effectuée sur plusieurs jours, auprès des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que :
On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants.
Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café.
On note C l'état « L'employé choisit un café » et T l'état « L'employé choisit un thé ».
Pour tout entier naturel n non nul, on note :
Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et T .
L'enquête a montré que :
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice donnant l'état probabiliste le premier jour.
Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café d'où
La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre C et T est .
Déterminer la probabilité, arrondie au centième, qu'un employé choisisse un thé le quatrième jour.
La probabilité, qu'un employé choisisse un thé le quatrième jour est égale à 0,34.
Montrer que l'état stable est .
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état converge vers un état stable vérifiant :
D'où c et t vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que c et t sont solutions du système :
L'état stable du système est .
Est-ce que la société CAFTHÉ avait raison quant à l'utilisation de la machine à café à long terme ?
L'état probabiliste converge vers l'état stable .
Sur le long terme, d'un jour sur l'autre, 40 % des employés choisissent un café.
Exprimer en fonction de . En déduire que pour tout entier n , on a .
Pour tout entier ,
Soit avec pour tout entier , . D'où
Ainsi, pour tout entier , .
On considère l'algorithme suivant :
Variables : | A est un réel |
Entrée : | Saisir n |
Initialisation : | Affecter à A la Valeur 0,70 |
Traitement : | Pour i de 1 à n |
Sortie : | Afficher A . |
En faisant apparaître les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égale à 3.
Que permet de déterminer cet algorithme ?
Valeur de i | 1 | 2 | 3 |
Valeur de A |
La valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égale à 3 est 0,657213.
Cet algorithme permet de déterminer la probabilité qu'un employé choisisse un café le jour .
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