sujet : Amérique du Sud 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

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Pour les questions 1 et 2, on considère une entreprise qui produit des plaquettes de beurre de 250 grammes.

1. La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =250$ et d'écart type $\sigma =1$. Alors, à ${10}^{-3}$ près, on a :

   À l'aide de la calculatrice, on a : $$\begin{array}{rcl}P\left(X<249\right)& =& P\left(X⩽250\right)-P\left(249⩽X⩽250\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(249⩽X⩽250\right)\\ & \approx & \mathrm{0,159}\end{array}$$

   A. $P\left(X<250\right)\approx \mathrm{0,459}$

   B. $P\left(X>249\right)\approx \mathrm{0,659}$

   C. $P\left(X<249\right)\approx \mathrm{0,159}$

   D. $P\left(X<252\right)\approx \mathrm{0,997}$

2. Pour être conformes, ces plaquettes de beurre doivent avoir une masse nette comprise entre 248 et 252 grammes.
   Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de 900 plaquettes et constate que 864 sont conformes.
   L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est, avec les bornes données à ${10}^{-3}$ près :

   • La fréquence f de plaquettes de beurre conformes dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{864}{900}}=\mathrm{0,96}$

   • Un intervalle de confiance de la proportion p de plaquettes de beurre conformes est :$$\left[\mathrm{0,96}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{900}}};\mathrm{0,96}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{900}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,926};\mathrm{0,994}\right]$$

   A. $\left[\mathrm{0,91};\mathrm{1,01}\right]$

   B. $\left[\mathrm{0,926};\mathrm{0,994}\right]$

   C. $\left[\mathrm{0,245};\mathrm{0,255}\right]$

   D. $\left[\mathrm{0,958};\mathrm{0,962}\right]$

3. Lors d'une tombola, les organisateurs affirment que 20 % des tickets sont gagnants. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de 200 tickets tirés au hasard est, avec des valeurs approchées des bornes données à ${10}^{-3}$ près :

   On a $n=200$, $n\times p=200\times \mathrm{0,2}=40$ et $n\times \left(1-p\right)=200\times \mathrm{0,8}=160$.
   Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de taille $n=200$ est : $$I=\left[\mathrm{0,2}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,8}}{200}}};\mathrm{0,2}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,8}}{200}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,144};\mathrm{0,256}\right]$$

   A. $\left[\mathrm{0,150};\mathrm{0,250}\right]$

   B. $\left[\mathrm{0,195};\mathrm{0,205}\right]$

   C. $\left[\mathrm{0,182};\mathrm{0,218}\right]$

   D. $\left[\mathrm{0,144};\mathrm{0,256}\right]$

4. Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[0;30\right]$ par : $f\left(x\right)=x^3-39x^2+315x+45$.
   On note 𝒞 sa courbe représentative. On a alors :

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   • Calculons la dérivée $f\prime$ de la fonction f . Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;30\right]$ : $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)& =& 3\times x^2-39\times 2\times x+315& =& 3x^2-78x+315\end{array}$$

   • Calculons la dérivée seconde $f″$ de la fonction f. Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;30\right]$ : $$f″\left(x\right)=6x-78$$

   • Étudions le signe de la dérivée seconde $f″$ définie sur $\left[0;30\right]$ par $f″\left(x\right)=6x-78$.

     Pour tout réel x$$\begin{array}{rcl}6x-78⩾0& \iff & x⩾13\end{array}$$

     D'où le tableau de signe de $f″$ sur l'intervalle $\left[0;30\right]$ :

     x	0		13		30
     $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

     Ainsi, la fonction f est concave sur l'intervalle $\left[0;13\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[13;30\right]$ et, la courbe 𝒞 admet un point d'inflexion au point d'abscisse 13.

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   A. f est convexe sur l'intervalle $\left[0;30\right]$	B. f est concave sur l'intervalle $\left[5;21\right]$
   C. 𝒞 admet un point d'inflexion au point d'abscisse 13	D. Si $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f, alors $f\prime$ est croissante sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ et sur l'intervalle $\left[21;30\right]$

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