sujet : Amérique du Sud 2019

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1^er janvier 2020 ?

   $$\begin{array}{l}{u}_1=5000\times \left(1-{\displaystyle \frac{4}{100}}\right)+300=5100\\ u_2=5100\times \mathrm{0,96}+300=5196\end{array}$$.

   $u_1=5100$ et $u_2=5196$. Selon ce modèle, au 1^er janvier 2020 l'arboriculteur possèdera 5 196 pommiers.

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2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-7500$, pour tout entier naturel n.

   1. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-7500\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}{u}_n+300-7500\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}{u}_n-7200\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}\times \left(u_n-7500\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,96}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,96}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme $v_0=5000-7500=-2500$.

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   2. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_0=-2500$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_n=-2500\times {\mathrm{0,96}}^n$

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n : $u_n=7500-2500\times {\mathrm{0,96}}^n$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-7500\iff u_n=v_n+7500$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=7500-2500\times {\mathrm{0,96}}^n$.

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3. La superficie des terrains de l'arboriculteur lui permet d'avoir au maximum 6 000 pommiers. L'arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.
   On considère l'algorithme ci-dessous :

   1. Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu'il réponde à la problématique énoncée ci-dessus.

      Ligne 1	$n\leftarrow 0$
      Ligne 2	$u\leftarrow 5000$
      Ligne 3	Tant que $u⩽6000$
      Ligne 4	$n\leftarrow n+1$
      Ligne 5	$u\leftarrow \mathrm{0,96}\times u+300$
      Ligne 6	Fin tant que

   2. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      • méthode 1

        On peut programmer l'algorithme précédent sur la calculatrice ou calculer les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ on a : $u_{12}\approx 5968$ et $u_{13}\approx 6029$.

        À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable n contient la valeur $n=13$.

      • methode 2

        On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>6000$

        Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}7500-2500\times {\mathrm{0,96}}^n>6000& \iff & -2500\times {\mathrm{0,96}}^n>-1500& \\ & \iff & {\mathrm{0,96}}^n<{\displaystyle \frac{1500}{2500}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,96}}^n\right)<\ln \mathrm{0,6}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,96}<\ln \mathrm{0,6}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{\ln \mathrm{0,96}}}& \ln \mathrm{0,96}<0\end{array}$$

        Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,6}}{\ln \mathrm{0,96}}}\approx \mathrm{12,5}$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>6000$ est $n=13$.

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      À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable n contient la valeur $n=13$. C'est en 2031 que l'arboriculteur devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.

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4. Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur ? Justifier la réponse.

   Déterminons la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

   $0<\mathrm{0,96}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,96}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-2500\times {\mathrm{0,96}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }7500-2500\times {\mathrm{0,96}}^n=7500$.

   Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=7500$. Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, le nombre de pommiers de cet arboriculteur va tendre vers 7 500.

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