sujet : Amérique du Sud 2019

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

La courbe 𝒞 ci-dessous, associée à une fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;19\right]$, représente l'audience journalière d'une chaîne de télévision entre le 1^er janvier 2000 (année numéro 0) et le 1^er janvier 2019 (année numéro 19), c'est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.
Ainsi, le 1^er janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ 460 000 téléspectateurs.

1. Décrire l'évolution de l'audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2019.

   On contate une baisse de l'audience pendant les trois premières années ensuite, à partir du 1^er janvier 2003 une augmentation de l'audience avec un ralentissement de la croissance au cours de l'année 2008.

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2. Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1^er janvier 2014.

   Avec la précision permise par le graphique, le 1^er janvier 2014, l'audience était d'environ 800 000 téléspectateurs.

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3. La droite (AB), où les points A et B ont pour coordonnées $A\left(0;460\right)$ et $B\left(3;82\right)$, est la tangente à la courbe 𝒞 au point A.
   Déterminer la valeur de $f\prime \left(0\right)$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de la fonction f représentée par 𝒞.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (AB) à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse 0 : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{soit}& f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{82-460}{3-0}}=-126\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime \left(0\right)=-126$.

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partie b

On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.
On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;29\right]$ par : $f\left(x\right)=\left(20x^2-80x+460\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$ où x représente le nombre d'années depuis 2000 (par exemple $x=19$ pour l'année 2019).

1. Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1^er janvier 2014.

   $$f\left(14\right)=\left(20\times {14}^2-80\times 14+460\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,4}}\approx \mathrm{803,9}$$

   Le 1^er janvier 2014 l'audience de la chaîne était d'environ 804 000 téléspectateurs.

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2. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;29\right]$.

   1. Démontrer que $f\prime$ est définie par : $f\prime \left(x\right)=\left(-2x^2+48x-126\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;29\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=20x^2-80x+460& \text{;}& u\prime \left(x\right)=40x-80\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\end{array}$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;29\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \left(40x-80\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}+\left(20x^2-80x+460\right)\times \left(-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\right)\\ & =& \left(40x-80-2x^2+8x-46\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\\ & =& \left(-2x^2+48x-126\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;29\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-2x^2+48x-126\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$.

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   2. On considère l'équation: $-2x^2+48x-126=0$. Un logiciel de calcul formel donne :

      Instruction :	Résultat :
      $\text{Solve}\left(-2x^2+48x-126=0\right)$	3 et 21

      Retrouver ce résultat par le calcul.

      Le discriminant du trinôme $-2x^2+48x-126$ est $\mathrm{\Delta }={48}^2-4\times \left(-2\right)\times \left(-126\right)=1296={36}^2$.
      $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation $-2x^2+48x-126=0$, a deux solutions : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-48-36}{-4}}=21& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-48+36}{-4}}=3\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $-2x^2+48x-126=0$ est $S=\left\{3;21\right\}$.

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   3. En déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;29\right]$ et construire le tableau des variations de f sur l'intervalle $\left[0;29\right]$. Arrondir les éléments du tableau à l'unité.

      Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}>0$, on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $P\left(x\right)=-2x^2+48x-126$ sur l'intervalle $\left[0;29\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de signe de $f\prime$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;29\right]$ :

      x	0		3		21		29
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	460		$\approx 296$		$\approx 931$		$\approx 823$

   4. Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l'année 2029 ? Justifier.

      Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=21$ et $f\left(21\right)<931$ par conséquent, le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision ne dépassera pas la barre du million avant l'année 2029.

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3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=800$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[3;21\right]$. Déterminer un encadrement d'amplitude 1 de α.
   Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il 800 000 ?

   • Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;3\right]$ on a $f\left(x\right)<460$ donc sur cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=800$ n'a pas de solution.

   • Sur l'intervalle $\left[3;21\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(3\right)<800<f\left(21\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=800$ admet une unique solution $\alpha \in \left[3;21\right]$.

   • Pour tout réel x de l'intervalle $\left[21;29\right]$ on a $f\left(x\right)>823$ donc sur cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=800$ n'a pas de solution.

   L'équation $f\left(x\right)=800$ admet une unique solution $\alpha \in \left[3;21\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $13<\alpha <14$.
   Comme sur l'intervalle $\left[3;21\right]$, la fonction f est strictement croissante, on en déduit que c'est au cours de l'année 2013 que le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera 800 000.

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4. On admet que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;29\right]$ par : $F\left(x\right)=\left(-200x^2-3200x-36600\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$ est une primitive de la fonction f.
   Déterminer à mille près l'audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1^er janvier 2018 et le 1^er janvier 2019.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[18;19\right]$ est : $$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{19-18}}\times {\displaystyle {\int }_{18}^{19}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(19\right)-F\left(18\right)\\ & =& \left[\left(-200\times {19}^2-3200\times 19-36600\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,9}}\right]-\left[\left(-200\times {18}^2-3200\times 18-36600\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,8}}\right]\\ & =& 159000\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,8}}-169600\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,9}}\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[18;19\right]$ est $m\approx \mathrm{915,7}$. Soit arrondie à mille près, l'audience journalière moyenne de la chaîne de télévision entre le 1^er janvier 2018 et le 1^er janvier 2019 est de 916 000 téléspectateurs .

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