sujet : Amérique du Sud 2019

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. À l'aide des données de l'énoncé préciser les valeurs de $P\left(L\right)$, $P_L\left(M\right)$ et $P_{\overline{L}}\left(\overline{M}\right)$.

   • 70 % des participants sont licenciés dans un club d'où $P\left(L\right)=\mathrm{0,7}$.
   • Parmi les licenciés, 66 % font le parcours en moins de 5 heures d'où $P_L\left(M\right)=\mathrm{0,66}$.
   • Parmi les non licenciés, 83 % d'où $P_{\overline{L}}\left(\overline{M}\right)=\mathrm{0,83}$.

   Ainsi, $P\left(L\right)=\mathrm{0,7}$, $P_L\left(M\right)=\mathrm{0,66}$ et $P_{\overline{L}}\left(\overline{M}\right)=\mathrm{0,83}$.

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2. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant représentant la situation.

3. Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(L\cap M\right)=P_L\left(M\right)\times P\left(L\right)& \text{soit}& P\left(L\cap M\right)=\mathrm{0,66}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,462}\end{array}$$

   La probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures est égale à 0,462.

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4. Justifier que $P\left(M\right)=\mathrm{0,513}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(M\right)=P\left(L\cap M\right)+P\left(\overline{L}\cap M\right)$$

   Or :$$\begin{array}{ccc}P\left(\overline{L}\cap M\right)=P_{\overline{L}}\left(M\right)\times P\left(\overline{L}\right)& \text{soit}& P\left(\overline{L}\cap M\right)=\mathrm{0,17}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,051}\end{array}$$

   Par conséquent, $$P\left(M\right)=\mathrm{0,462}+\mathrm{0,051}=\mathrm{0,513}$$

   La probabilité que le cycliste interrogé fasse le parcours en moins de 5 heures est égale à 0,513.

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5. Un organisateur affirme qu'au moins 90 % des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_M\left(L\right)={\displaystyle \frac{P\left(L\cap M\right)}{P\left(M\right)}}& \text{soit}& P_M\left(L\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,462}}{\mathrm{0,513}}}\approx \mathrm{0,901}\end{array}$$

   $P_M\left(L\right)>\mathrm{0,9}$. Par conséquent, l'organisateur a raison d'affirmer qu'au moins 90 % des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club.

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6. Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note X la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.

   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?

      Comme la probabilité qu'un cycliste fasse le parcours en moins de 5 heures est égale à 0,513 et que le nombre de cyclistes est suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise alors, X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,513}$.

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   2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.

      À l'aide de la calculatrice, $P\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)\times {\mathrm{0,513}}^4\times {\left(1-\mathrm{0,513}\right)}^6\approx \mathrm{0,194}$.

      Arrondie à ${10}^{-3}$ près, la probabilité qu'exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est 0,194.

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   3. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures ?

      À l'aide de la calculatrice, $P\left(X⩽3\right)\approx \mathrm{0,151}$.

      Arrondie à ${10}^{-3}$ près, la probabilité qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est 0,151.

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