sujet : Antilles Guyane septembre 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

1. Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges.

   • Sur les 1 500 flacons de ce modèle reçus, 900 proviennent du site A, les autres du site B d'où $p\left(A\right)={\displaystyle \frac{900}{1500}}=\mathrm{0,6}$ et $p\left(B\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.
   • Parmi les flacons provenant du site A, 95 % ont un aspect conforme au cahier des charges tandis que 92 % des flacons provenant du site B ont un aspect conforme d'où $p_A\left(C\right)=\mathrm{0,95}$ et $p_B\left(C\right)=\mathrm{0,92}$

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap C\right)=p_A\left(C\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap C\right)=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,57}\end{array}$$

   La probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges est égale à 0,57.

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2. Montrer que la probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est 0,938.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(C\right)=p\left(A\cap C\right)+p\left(B\cap C\right)$$

   Or :$$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap C\right)=p_B\left(C\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap C\right)=\mathrm{0,92}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,368}\end{array}$$

   Par conséquent, $$p\left(C\right)=\mathrm{0,57}+\mathrm{0,368}=\mathrm{0,938}$$

   La probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est égale à 0,938.

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3. Le flacon prélevé se trouve avoir un aspect non conforme. Déterminer la probabilité qu'il provienne du site B.

   $$p_{\overline{C}}\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}}$$

   Or :$$\begin{array}{rlcl}& p\left(B\cap \overline{C}\right)=p_B\left(\overline{C}\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap \overline{C}\right)=\left(1-\mathrm{0,92}\right)\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,032}\\ \text{et}& p\left(\overline{C}\right)=1-p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,938}=\mathrm{0,062}\end{array}$$

   D'où $$p_{\overline{C}}\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,032}}{\mathrm{0,062}}}\approx \mathrm{0,516}$$

   La probabilité qu'un flacon ayant un aspect non conforme provienne du site B est 0,516 arrondie au millième près.

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partie b

Le grossiste souhaite également étudier le volume de parfum contenu dans les flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison.
On considère qu'un flacon est correctement rempli s'il contient plus de 98 ml de parfum.
On admet que le volume de parfum, exprimé en millilitre, contenu dans un flacon prélevé au hasard peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance $\mu =100$ et d'écart type $\sigma =1$.

Déterminer la probabilité qu'un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli.

La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =100$ et d'écart-type $\sigma =1$ donc $P\left(100-2⩽X⩽100+2\right)\approx \mathrm{0,954}$. D'où $$\begin{array}{rcl}P\left(X>98\right)& =& P\left(X⩾100\right)+P\left(98⩽X⩽100\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{P\left(98⩽X⩽102\right)}{2}}\\ & \approx & \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,954}}{2}}\approx \mathrm{0,977}\end{array}$$

La probabilité qu'un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli est 0,997.

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partie c

Le producteur du site A indique que le pourcentage de flacons « correctement remplis » est de 96 %.

Le grossiste contrôle un échantillon de 120 flacons prélevés au hasard dans la livraison du producteur du site A et compte 18 flacons qui ne sont pas correctement remplis. Le grossiste met alors en doute l'affirmation du producteur. Comment peut-il justifier sa contestation ?

Le grossiste peut justifier sa contestation à l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de flacons correctement remplis :

On a $n=120$, $n\times p=120\times \mathrm{0,96}=\mathrm{115,2}$ et $n\times \left(1-p\right)=120\times \mathrm{0,04}=\mathrm{4,8}$.

Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique ne sont pas réunies !

1. Déterminons un intervalle de fluctuation à 95 % de la proportion de flacons correctement remplis dans des échantillons de taille $n=120$, selon la loi binomiale $ℬ\left(120;\mathrm{0,96}\right)$.

   • Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=111$ et, le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=119$.

     Un intervalle de fluctuation à 95 % de la proportion de flacons correctement remplis dans un échantillon de taille 120 est :$I=\left[{\displaystyle \frac{111}{120}};{\displaystyle \frac{119}{120}}\right]$.

   • La fréquence de flacons correctement remplis dans l'échantillon de taille 120 est $f={\displaystyle \frac{120-18}{120}}={\displaystyle \frac{102}{120}}$. Donc $f\notin \left[{\displaystyle \frac{111}{120}};{\displaystyle \frac{119}{120}}\right]$.

   La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Par conséquent, le grossiste peut mettre en doute l'affirmation du producteur.

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2. Admettons que le grossiste utilise un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de flacons correctement remplis :

   • L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de flacons correctement remplis dans des échantillons de taille $n=120$ est : $$I=\left[\mathrm{0,96}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,96}\times \mathrm{0,04}}{120}}};\mathrm{0,96}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,96}\times \mathrm{0,04}}{120}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,924};\mathrm{0,996}\right]$$

   • La fréquence de flacons correctement remplis dans l'échantillon de taille 120 est $f={\displaystyle \frac{120-18}{120}}=\mathrm{0,85}$. Donc $f\notin \left[\mathrm{0,924};\mathrm{0,996}\right]$.

   La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Par conséquent, le grossiste peut mettre en doute l'affirmation du producteur.

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