Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2019

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Un particulier souhaite réaménager l'espace paysager de sa parcelle boisée comptant 10 000 arbres en 2018. Pour cela, il se fixe un plan progressif qui consiste à couper chaque année 20 % des arbres et à planter 600 nouveaux pieds d'arbre.
On modélise l'évolution du nombre d'arbres de cette parcelle par une suite $(u_{n})$ dans laquelle, pour tout entier naturel n, $u_{n}$ est le nombre d'arbres de la parcelle en $2018 + n$ ainsi $u_{0} = 10000$ .

partie a

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
  $\begin{array}{l} u_{1} = 10000 \times (1 - \frac{20}{100}) + 600 = 8600 \\ u_{2} = 8600 \times 0,8 + 600 = 7480 \end{array}$ .
  $u_{1} = 8600$ et $u_{2} = 7480$ .
2. Justifier, pour tout entier naturel n, l'égalité $u_{n + 1} = 0,8 \times u_{n} + 600$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à la suppression de 20 % des arbres est : $1 - \frac{20}{100} = 0,8$ Soit $u_{n}$ le nombre d'arbres de la parcelle en $2018 + n$ . La nombre d'arbres de la parcelle l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $u_{n} \overset{\times 0,8 ( coupe de 20 % )}{\to} 0,8 u_{n} \overset{+ 600 ( plantation de 600 arbres )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{0,8 u_{n} + 600}}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 600$ .
On définit la suite $(v_{n})$ par $v_{n} = u_{n} - 3000$ pour tout entier naturel n.
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 3000 \\ = & 0,8 u_{n} + 600 - 3000 \\ = & 0,8 u_{n} - 2400 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 3000) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme $v_{0} = 10000 - 3000 = 7000$ .
2. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = 7000$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 7000 \times {0,8}^{n}$ .
3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 7000 \times {0,8}^{n} + 3000$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 3000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 3000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 7000 \times {0,8}^{n} + 3000$ .
4. Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, que peut-on conjecturer à long terme concernant le nombre d'arbres de celle-ci ?
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 7000 \times {0,8}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} 7000 \times {0,8}^{n} + 3000 = 3000$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3000$ . Ce qui signifie que selon ce modèle, à long terme, le nombre d'arbres de la parcelle sera proche de 3000.

partie b

Le propriétaire de la parcelle souhaite conserver au moins 4 000 arbres sur sa parcelle. Il cherche à déterminer l'année où il devra cesser son plan de réaménagement progressif.

On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante. Dans les algorithmes ci-dessous, U est un nombre réel et N est un nombre entier.
Parmi ces algorithmes ci-dessous, un seul donne le nombre d'années nécessaires pour que le nombre d'arbres devienne inférieur ou égal à 4 000.

$\begin{array}{l} U \leftarrow 10000 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $U ⩽ 4000$
$\begin{array}{l} N \leftarrow N + 1 \\ U \leftarrow 0,8 \times U + 600 \end{array}$
Fin Tant que

$\begin{array}{l} U \leftarrow 10000 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $U > 4000$
$\begin{array}{l} N \leftarrow N + 1 \\ U \leftarrow {0,8}^{N} \times U + 600 \end{array}$
Fin Tant que

$\begin{array}{l} U \leftarrow 10000 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $U > 4000$
$\begin{array}{l} N \leftarrow N + 1 \\ U \leftarrow 0,8 \times U + 600 \end{array}$
Fin Tant que

Algorithme 1

Algorithme 2

Algorithme 3

Indiquer pourquoi les algorithmes 1 et 2 ne conviennent pas.

L'algorithme 1 ne convient pas la condition « Tant que $U ⩽ 4000$ » est fausse dès le départ donc la boucle « Tant que » n'est pas exécutée.
L'algorithme 2 ne convient pas l'affectation de la variable $U \leftarrow {0,8}^{N} \times U + 600$ ne correspond pas à la relation de récurrence $u_{n + 1} = 0,8 \times u_{n} + 600$ .

Déterminer l'année au cours de laquelle le propriétaire devra cesser son plan de réaménagement.
- méthode 1
  On peut programmer l'algorithme 3 précédent sur la calculatrice ou calculer les termes successifs de la suite $(u_{n})$ on a : $u_{8} \approx 4174$ et $u_{9} \approx 3940$ .
  À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur $N = 9$ .
- méthode 2
  On cherche le plus petit entier naurel n solution de l'inéquation : $7000 \times {0,8}^{n} + 3000 ⩽ 4000$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 7000 \times {0,8}^{n} + 3000 ⩽ 4000 & \Leftrightarrow & 7000 \times {0,8}^{n} ⩽ 1000 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} ⩽ \frac{1}{7} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) ⩽ \ln (\frac{1}{7}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,8 ⩽ - \ln 7 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ - \frac{\ln 7}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{array}$
  Or $- \frac{\ln 7}{\ln 0,8} \approx 8,7$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $7000 \times {0,8}^{n} + 3000 ⩽ 4000$ est $n = 9$ .
C'est en 2027 que le propriétaire devra cesser son plan de réaménagement.

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