Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe 𝒞 représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;3]. On note f la fonction dérivée de f.
La droite 𝒟 est la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0 ; elle passe par le point A de coordonnées (0,5;1).
La tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.

  1. Déterminer une équation de la droite 𝒟.

    La droite 𝒟 passe par l'origine du repère et par le point A de coordonnées (0,5;1) elle admet donc une équation de la forme y=mx avec m=10,5=2.

    La droite 𝒟 a pour équation y=2x.


  2. Donner la valeur de f(1).

    La tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc f(1)=0.


  3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.

    La courbe 𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse α]1,7;1,8[ et, sur l'intervalle [0;α], la courbe 𝒞 est située en dessous de ses tangentes.

    Sur l'intervalle [0;1,7], la fonction f est concave.


partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle [0;3] par f(x)=2xe-0,5x2.

  1. On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0;3].

    1. Montrer que f(x)=(2-2x2)e-0,5x2.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;3] : {u(x)=2x;u(x)=2v(x)=e-0,5x2;v(x)=-xe-0,5x2

      Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;3] : f(x)=2e-0,5x2+(2x)×(-xe-0,5x2)=2e-0,5x2-2x2e-0,5x2=(2-2x2)e-0,5x2

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle [0;3] par f(x)=(2-2x2)e-0,5x2.


    2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;3] et dresser son tableau de variation.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, e-0,5x2>0 donc f(x) est du même signe que (2-2x2). Or 2-2x2=2(1-x2)=2(1-x)(1+x)

      Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) et des variations de la fonction f sur l'intervalle [0;3] :

      x013
      f(x)+0||
      f(x)

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2e-0,5

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      6e-4,5

  2. On admet que la fonction F, définie par F(x)=-2e-0,5x2, est une primitive de f sur l'intervalle [0;3].
    En déduire la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0;3] et en donner une valeur approchée au millième.

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;3] est : m=13-0×03f(x)dx=13×(F(3)-F(0))=-2e-4,5-(-2)3=-2e-4,5+23

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;3] est m=2-2e-4,53. Soit arrondi au millième près, m0,659.


partie c

En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction f l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0;3], f(x) représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant x, exprimé en mois.

Un journal affirme que cet hiver :

  • le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million ;
  • le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 400 000.

Que dire de ces deux affirmations ?

Le maximum de la fonction f est f(1)=2e-0,51,2 et la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;3] est m0,659.

L'affirmation « le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million » est exacte par contre, l'affirmation « le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 400 000 » est fausse le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 659 000.



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