On donne ci-dessous la courbe 𝒞 représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle . On note la fonction dérivée de f.
La droite 𝒟 est la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0 ; elle passe par le point A de coordonnées .
La tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.
Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.
Déterminer une équation de la droite 𝒟.
La droite 𝒟 passe par l'origine du repère et par le point A de coordonnées elle admet donc une équation de la forme avec .
La droite 𝒟 a pour équation .
Donner la valeur de .
La tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc .
Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
La courbe 𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse et, sur l'intervalle , la courbe 𝒞 est située en dessous de ses tangentes.
Sur l'intervalle , la fonction f est concave.
La fonction f est définie sur l'intervalle par .
On note la fonction dérivée de f sur l'intervalle .
Montrer que .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle :
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle et dresser son tableau de variation.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc est du même signe que . Or
Nous pouvons établir le tableau du signe de et des variations de la fonction f sur l'intervalle :
x | 0 | 1 | 3 | ||
+ | − | ||||
0 |
On admet que la fonction F, définie par , est une primitive de f sur l'intervalle .
En déduire la valeur moyenne de f sur l'intervalle et en donner une valeur approchée au millième.
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est :
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est . Soit arrondi au millième près, .
En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction f l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.
Pour tout x appartenant à l'intervalle , représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant x, exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver :
Que dire de ces deux affirmations ?
Le maximum de la fonction f est et la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est .
L'affirmation « le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million » est exacte par contre, l'affirmation « le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 400 000 » est fausse le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 659 000.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.