Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe 𝒞 représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 3]$ . On note $f'$ la fonction dérivée de f.
La droite 𝒟 est la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0 ; elle passe par le point A de coordonnées $(0,5; 1)$ .
La tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

partie a

Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.

Déterminer une équation de la droite 𝒟.
La droite 𝒟 passe par l'origine du repère et par le point A de coordonnées $(0,5; 1)$ elle admet donc une équation de la forme $y = m x$ avec $m = \frac{1}{0,5} = 2$ .
La droite 𝒟 a pour équation $y = 2 x$ .
Donner la valeur de $f' (1)$ .
La tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f' (1) = 0$ .
Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
La courbe 𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse $α \in] 1,7; 1,8 [$ et, sur l'intervalle $[0; α]$ , la courbe 𝒞 est située en dessous de ses tangentes.
Sur l'intervalle $[0; 1,7]$ , la fonction f est concave.

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 3]$ par $f (x) = 2 x e^{- 0,5 x^{2}}$ .

On note $f'$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $[0; 3]$ .

Montrer que $f' (x) = (2 - 2 x^{2}) e^{- 0,5 x^{2}}$ .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f = u v$ d'où $f' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[0; 3]$ : ${\begin{array}{lcl} u (x) = 2 x & ; & u' (x) = 2 \\ v (x) = e^{- 0,5 x^{2}} & ; & v' (x) = - x e^{- 0,5 x^{2}} \end{array}$
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 3]$ : $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 2 e^{- 0,5 x^{2}} + (2 x) \times (- x e^{- 0,5 x^{2}}) \\ = & 2 e^{- 0,5 x^{2}} - 2 x^{2} e^{- 0,5 x^{2}} \\ = & (2 - 2 x^{2}) e^{- 0,5 x^{2}} \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 3]$ par $f' (x) = (2 - 2 x^{2}) e^{- 0,5 x^{2}}$ .

Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ et dresser son tableau de variation.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

Pour tout réel x, $e^{- 0,5 x^{2}} > 0$ donc $f' (x)$ est du même signe que $(2 - 2 x^{2})$ . Or $2 - 2 x^{2} = 2 (1 - x^{2}) = 2 (1 - x) (1 + x)$

Nous pouvons établir le tableau du signe de $f' (x)$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ :

x	0		1		3
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	0		$2 e^{- 0,5}$		$6 e^{- 4,5}$

On admet que la fonction F, définie par $F (x) = - 2 e^{- 0,5 x^{2}}$ , est une primitive de f sur l'intervalle $[0; 3]$ .
En déduire la valeur moyenne de f sur l'intervalle $[0; 3]$ et en donner une valeur approchée au millième.
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ est : $\begin{array}{rcl} m = \frac{1}{3 - 0} \times \int_{0}^{3} f (x) d x & = & \frac{1}{3} \times (F (3) - F (0)) \\ = & \frac{- 2 e^{- 4,5} - (- 2)}{3} \\ = & \frac{- 2 e^{- 4,5} + 2}{3} \end{array}$
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ est $m = \frac{2 - 2 e^{- 4,5}}{3}$ . Soit arrondi au millième près, $m \approx 0,659$ .

partie c

En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction f l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.
Pour tout x appartenant à l'intervalle $[0; 3]$ , $f (x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant x, exprimé en mois.

Un journal affirme que cet hiver :

le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million ;
le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 400 000.

Que dire de ces deux affirmations ?

Le maximum de la fonction f est $f (1) = 2 e^{- 0,5} \approx 1,2$ et la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ est $m \approx 0,659$ .

L'affirmation « le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million » est exacte par contre, l'affirmation « le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 400 000 » est fausse le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ 659 000.

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