Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés seront arrondis au millième.

partie a

On s'intéresse à la clientèle d'un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

  • 70 % des clients achètent leur billet sur internet ;
  • parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec audioguide ;
  • parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants :

  • A : « Le client choisit une visite avec audioguide » ;
  • B : « Le clients achète son billet sur internet avant sa visite ».
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

    • 70 % des clients achètent leur billet sur internet d'où P(B)=0,7 et P(B¯)=1-0,7=0,3.
    • Parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec audioguide d'où PB(A)=0,35 et PB(A¯)=1-0,35=0,65.
    • Parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec audioguide d'où PB¯(A)=0,55 et PB¯(A¯)=1-0,55=0,45.

    L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,41.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    P(A)=P(BA)+P(B¯A)

    Or :P(BA)=PB(A)×P(B)soitP(BA)=0,35×0,7=0,245etP(B¯A)=PB¯(A)×P(B¯)soitP(B¯A)=0,55×0,3=0,165

    Par conséquent, P(A)=0,245+0,165=0,41

    Ainsi, la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,41.


  3. On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
    Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.
    D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur ? Justifier la réponse.

    PA(B)=P(BA)P(A)soitPA(B)=0,2450,410,598

    Près de 59,8 % des clients qui visitent le musée avec un audioguide ont acheté leur billet sur internet. Par conséquent, le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.


partie b

On s'intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée.
On note T la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique.
Une étude statistique a montré que la variable aléatoire T suit la loi normale de moyenne μ=10 et d'écart-type σ=2.

  1. Quelle est la probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique ?

    À l'aide de la calculatrice : P(0T<6)0,023

    La probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique est 0,023.


  2. Calculer P(6T14).

    Loi normale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance μ=10 et d'écart-type σ=2 donc P(10-2×2T10+2×2)0,954

    Ainsi, P(6T14)0,954.


  3. Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel a tel que P(Ta)=0,25.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    Avec la calculatrice, on trouve P(Ta)=0,25 pour a11,3.25 % des visiteurs passent au moins 11,3 minutes dans la boutique.


  4. Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que 25 % des visiteurs passent au moins 15 minutes dans la boutique.
    Pour s'en assurer le gérant de la boutique constitue un echantillon aléatoire de 720 visiteurs. Il constate que 161 d'entre eux sont restés 15 minutes ou plus.
    Cet échantilon confirme-t-il les résultats de l'étude ? Justifier la réponse.

    • La fréquence des visiteurs qui passent au moins 15 minutes dans la boutique dans l'échantillon est f=1617200,224.

    • On a n=720, n×p=720×0,25=180 et n×(1-p)=720×0,75=540.
      Les conditions n30, np>5 et n×(1-p)>5 d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion des visiteurs qui passent au moins 15 minutes dans la boutique dans des échantillons de taille n=720 est : I=[0,25-1,96×0,25×0,75720;0,25+1,96×0,25×0,75720][0,218;0,282]

    La fréquence f=161720 appartient à l'intervalle I=[0,218;0,282] de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Cet confirme les résultats de l'étude.



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