sujet : Centres Étrangers 2019

Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés seront arrondis au millième.

partie a

On s'intéresse à la clientèle d'un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

• 70 % des clients achètent leur billet sur internet ;
• parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec audioguide ;
• parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants :

• A : « Le client choisit une visite avec audioguide » ;
• B : « Le clients achète son billet sur internet avant sa visite ».

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,41.

3. On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
   Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.

   D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur ? Justifier la réponse.

partie b

On s'intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée.
On note T la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique.

Une étude statistique a montré que la variable aléatoire T suit la loi normale de moyenne $\mu =10$ et d'écart-type $\sigma =2$.

1. Quelle est la probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique ?

2. Calculer $P\left(6⩽T⩽14\right)$.

3. Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel a tel que $P\left(T⩾a\right)=\mathrm{0,25}$.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que 25 % des visiteurs passent au moins 15 minutes dans la boutique.
   Pour s'en assurer le gérant de la boutique constitue un echantillon aléatoire de 720 visiteurs. Il constate que 161 d'entre eux sont restés 15 minutes ou plus.

   Cet échantilon confirme-t-il les résultats de l'étude ? Justifier la réponse.

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Exercice 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Aucune justification n'est demandée.

Un constructeur automobile commercialise un nouveau véhicule. Afin de le faire connaître, une campagne publicitaire est organisée. On étudie l'impact de cette campagne publicitaire dans une certaine région.

1. On montre la publicité à 3 000 habitants de cette région. Parmi eux, 817 la trouvent attractive. Un intervalle de confiance au seuil de 0,95 de la proportion d'habitants de la région trouvant que la publicité est attractive est ( les bornes ont été arrondies à ${10}^{-3}$ ) :

   A.   $\left[\mathrm{0,271};\mathrm{0,273}\right]$

   B.   $\left[\mathrm{0,211};\mathrm{0,333}\right]$

   C.   $\left[\mathrm{0,254};\mathrm{0,333}\right]$

   D.   $\left[\mathrm{0,254};\mathrm{0,291}\right]$

2. Dans une ville de la région, sur une population de 4 200 habitants, 36 % ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne.
   Le nombre d'habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est :

   A.   2 688

   B.   1 512

   C.   1 167

   D.   4 164

3. Le premier jour de la campagne publicitaire, 150 habitants de la région ont pris connaissance de la publicité. Chaque jour, le nombre d'habitants de la région ayant pris connaissance de la publicité est multiplié par 2.
   On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de jours au bout desquels au moins 30 000 habitants de la région auront pris connaissance de la publicité.
   Parmi ces algorithmes, quel est celui dont le contenu de la variable N, après exécution de l'algorithme, répond à la question.

   A. $A\leftarrow 150$ $N\leftarrow 1$ Tant que $A<30000$ $A\leftarrow 2A$ Fin Tant que $N\leftarrow N+1$

   B. $A\leftarrow 150$ $N\leftarrow 1$ Tant que $A<30000$ $A\leftarrow 2A$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que

   C. $A\leftarrow 150$ $N\leftarrow 1$ Tant que $A<30000$ $A\leftarrow 2A$ Fin Tant que

   D. $A\leftarrow 150$ $N\leftarrow 1$ Tant que $A>30000$ $A\leftarrow 2A$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que

4. Dans une concession automobile de la région, le temps d'attente, exprimé en minutes, avant d'être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;10\right]$.
   Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu'il attende au moins 5 minutes avant d'être reçu par un conseiller commercial.

   A.   0,4

   B.   0,5

   C.   ${\displaystyle \frac{4}{9}}$

   D.   ${\displaystyle \frac{5}{9}}$

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EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de 20 % de son stock et achète ensuite 35 nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel n, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1^er juillet de l'année $\left(2018+n\right)$.
Au 1^er juillet 2018, le loueur possède 150 vélos, ainsi $u_0=150$.

1. 1. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au 1^er juillet 2019.

   2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=\mathrm{0,8}{u}_n+35$.

2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l'aide d'un tableur.
   Une copie d'écran est donnée ci-dessous :

   	A	B
   1	rang n	terme $u_n$
   2	0	150
   3	1	155
   4	2	159
   5	3	162,2

   1. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?

   2. Pour les termes de rang 36, 37, 38, 39 et 40, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :

      38	36	174,992
      39	37	174,994
      40	38	174,995
      41	39	174,996
      42	40	174,997

      Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

3. Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente.
   Pour cela, on pose pour tout entier naturel n : $v_n=u_n-175$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $u_n=-25\times {\mathrm{0,8}}^n+175$.

   3. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

4. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que : $u_n⩾170$.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

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EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Un restaurateur se fournit auprès de 5 producteurs locaux. Le graphe ci-dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs :

Légende E : éleveur F : fromager M : maraîcher P : pisciculteur R : restaurateur V : vigneron

1. 1. Le graphe est-il complet ? Justifier la réponse.

   2. Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.

2. Est-il possible pour le restaurateur d'organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. Si oui, préciser le point d'arrivée et proposer un tel parcours.

3. On appelle N la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.

   1. Déterminer la matrice N.

   2. On donne la matrice $N^3=\left(\begin{array}{cccccc}6& 10& 6& 10& 9& 5\\ 10& 6& 6& 10& 5& 9\\ 6& 6& 2& 4& 4& 4\\ 10& 10& 4& 8& 8& 8\\ 9& 5& 4& 8& 4& 8\\ 5& 9& 4& 8& 8& 4\end{array}\right)$.
      Déterminer, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur 3 reliant l'éleveur au vigneron.

4. Les arêtes du graphe sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètre, entre les différents lieux :

   Le restaurateur doit se rendre chez le maraîcher en partant de chez lui. Quel est le plus court chemin pour effectuer ce trajet ? Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme.

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Exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

Dans le repère ci-dessous, on note ${𝒞}_f$ la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$ . On a placé les points $A\left(0;2\right)$, $B\left(2;0\right)$ et $C\left(-2;0\right)$.
On dispose des renseignements suivants :

• Le point B appartient à la courbe ${𝒞}_f$.
• La droite (AC) est tangente en A à la courbe ${𝒞}_f$.
• La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Indiquer les valeurs de $f\left(0\right)$ et de $f\left(2\right)$.

2. Indiquer la valeur de $f\prime \left(1\right)$.

3. Donner une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A.

4. Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ dans l'intervalle $\left[-10;2\right]$.

5. Indiquer les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$.

6. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe, et celui sur lequel elle est concave.

7. On s'intéresse au nombre $I={\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   1. Sur le graphique donné en annexe ci-dessous et à rendre avec la copie, hachurer le domaine du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, est égale à I.

      annexe

   2. Donner un encadrement du nombre I par deux entiers consécutifs.

partie b

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$ par : $f\left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$.

1. Calculer $f\left(0\right)$ et $f\left(2\right)$.

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour tout nombre x appartenant à l'intervalle $\left[-10;2\right]$.

   2. En déduire la valeur de $f\prime \left(1\right)$.

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.

4. 1. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$.

   2. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ dans l'intervalle $\left[-10;2\right]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.

5. Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant :

   1	$f\left(x\right):=\left(2-x\right)*\exp \left(x\right)$
   $f\left(x\right):=\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x$
   2	Simplifier(Dérivée(Dérivée( $f\left(x\right)$)))
   $-x{\mathrm{e}}^x$

   Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$.

6. On considère la fonction F définie sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$ par : $F\left(x\right)=\left(3-x\right){\mathrm{e}}^x$.

   1. Vérifier que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[-10;2\right]$.

   2. En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième du nombre $I={\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

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