sujet : Centres Étrangers 2019

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de 20 % de son stock et achète ensuite 35 nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel n, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1^er juillet de l'année $\left(2018+n\right)$.
Au 1^er juillet 2018, le loueur possède 150 vélos, ainsi $u_0=150$.

1. 1. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au 1^er juillet 2019.

      $$u_1=150\times \left(1-{\displaystyle \frac{20}{100}}\right)+35=155$$.

      Selon ce modèle, le stock du loueur au 1^er juillet 2019 est de 155 vélos.

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   2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=\mathrm{0,8}{u}_n+35$.

      Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 14 % est :$$1-{\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{0,8}$$ Soit $u_n$ le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1^er juillet de l'année $\left(2018+n\right)$, au 1^er juillet de l'année suivante le nombre de vélos présents dans le stock s'obtient à l'aide du montage suivant :

      $$u_n\stackrel{\times \mathrm{0,8}\text{ ( diminution de 20 \% ) }}{\to }\mathrm{0,8}{u}_n\stackrel{+35\text{ ( achats de vélos ) }}{\to }\underset{u_{n+1}}{\underbrace{\mathrm{0,8}{u}_n+35}}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=\mathrm{0,8}{u}_n+35$.

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2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l'aide d'un tableur.
   Une copie d'écran est donnée ci-dessous :

   	A	B
   1	rang n	terme $u_n$
   2	0	150
   3	1	155
   4	2	159
   5	3	162,2

   1. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?

      La formule saisie dans la cellule B3 est : "$=\mathrm{0,8}*\text{B2}+35$".

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   2. Pour les termes de rang 36, 37, 38, 39 et 40, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :

      38	36	174,992
      39	37	174,994
      40	38	174,995
      41	39	174,996
      42	40	174,997

      Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

      Il semblerai que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit 175.

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3. Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente.
   Pour cela, on pose pour tout entier naturel n : $v_n=u_n-175$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-175\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{u}_n+35-175\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{u}_n-140\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}\times \left(u_n-175\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,8}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme $v_0=150-175=-25$.

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   2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $u_n=-25\times {\mathrm{0,8}}^n+175$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_0=-25$ donc pour tout entier naturel n, on a :$$v_n=-25\times {\mathrm{0,8}}^n$$

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-175\iff u_n=v_n+175$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=-25\times {\mathrm{0,8}}^n+175$.

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   3. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

      $0<\mathrm{0,8}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,8}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-25\times {\mathrm{0,8}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }-25\times {\mathrm{0,8}}^n+175=175$.

      Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=175$. Ce qui signifie, qu'à partir d'un certain nombre d'années, le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur se stabilise autour de 175.

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4. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que : $u_n⩾170$.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}-25\times {\mathrm{0,8}}^n+175⩾170& \iff & -25\times {\mathrm{0,8}}^n⩾-5& \\ & \iff & {\mathrm{0,8}}^n⩽{\displaystyle \frac{5}{25}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,8}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,2}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \left(\mathrm{0,8}\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,2}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,8}\right)}}& \ln \left(\mathrm{0,8}\right)<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,8}\right)}}\approx \mathrm{7,2}$ et comme n est un entier naturel, on en déduit que $n⩾8$.

   Les solutions entières de l'inéquation $u_n⩾170$ sont les entiers naturels $n⩾8$. À partir du 1^er juillet 2026, le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur sera supérieur à 170.

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