contrôle du 31 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{2}{2-x}}⩽3-x$

L'inéquation ${\displaystyle \frac{2}{2-x}}⩽3-x$ est définie pour tout réel $x\ne 2$

Pour tout réel $x\ne 2$, $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{2}{2-x}}⩽3-x& \iff & {\displaystyle \frac{2}{2-x}}+x-3⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2+\left(x-3\right)\left(2-x\right)}{2-x}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2+2x-x^2-6+3x}{2-x}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-x^2+5x-4}{2-x}}⩽0\end{array}$$

Le polynôme du second degré $-x^2+5x-4$ avec $a=-1$, $b=5$ et $c=-4$ est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.

Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }=5^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-4\right)=9& \text{donc}& \sqrt{\mathrm{\Delta }}=3\end{array}$$

$\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-5-3}{-2}}=4& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-5+3}{-2}}=1\end{array}$$

étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{-x^2+5x-4}{2-x}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

x	$-\infty$		1		2		4		$+\infty$
$2-x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	−
$-x^2+5x-4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
${\displaystyle \frac{-x^2+5x-4}{2-x}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\left|\right|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\displaystyle \frac{2}{2-x}}⩽3-x$ est $S=\left]-\infty ;1\right]\cup \left]-2;4\right]$

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