contrôles en première ES

contrôle du 31 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 3

Le coût total de fabrication de x milliers d'articles est C(x)=4x2+10x+50 ( C(x) est exprimé en milliers d'euros) avec x]0;12].
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 55 €. La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de x milliers d'articles est R(x)=55x.

La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction coût : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 11 000 articles ou fabriquer et vendre 3 400 articles ?

    • Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 11 milliers d'articles :

      Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 11 milliers d'articles est C(11)=4×112+10×11+50=644

      La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 11 milliers d'articles est R(11)=55×11=605

      Or R(11)-C(11)=605-644=-39

      Donc si l'entreprise fabrique et vend 11 000 articles elle perd 39 000 €.

    • Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 3,4 milliers d'articles :

      Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 3,4 milliers d'articles est C(3,4)=4×3,42+10×3,4+50=130,24

      La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 3,4 milliers d'articles est R(3,4)=55×3,4=187

      Or R(3,4)-C(3,4)=187-130,24=56,76

      Donc si l'entreprise fabrique et vend 3 400 articles elle gagne 56 760 €.

    Il est plus avantageux pour l'entreprise de fabriquer et vendre 3 400 articles.


  2. Tracer dans le repère ci-dessus la courbe représentative de la fonction recette.

    La fonction R:x55x est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite d'équation y=55x passant par l'origine du repère et le point de coordonnées (10;550).

    Courbes représentatives des fonctions coût et recette : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Par lecture graphique, déterminer la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice.

    L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût total, c'est à dire lorsque la courbe recette est au dessus de la courbe coût total.

    Avec la précision permise par le dessin, la production est rentable pour des quantités comprises entre 1,2 milliers et 10 milliers d'articles.


  4. On note B(x) le bénéfice réalisé, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.

    1. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par B(x)=-4x2+45x-50, avec x]0;12].

      Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total : B(x)=R(x)-C(x)

      Soit pour tout réel x]0;12], B(x)=55x-(4x2+10x+50)B(x)=-4x2+45x-50

      Ainsi, le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par B(x)=-4x2+45x-50.


    2. Étudier les variations de la fonction B sur ]0;12]. En déduire la quantité d'articles à produire et à vendre pour que le bénéfice soit maximal.

      La fonction B est la restiction sur l'intervalle ]0;12] de la fonction polynôme du second degré x-4x2+45x-50 avec a=-4, b=45 et c=-50.

      Comme a<0 :

      • B est strictement croissante pour x<-b2a. Soit pour x<458

      • B est strictement décroissante pour x>-b2a. Soit pour x>458

      • B est maximal pour x=458. Soit pour x=5,625

      Exprimé en milliers d'euros, le montant du bénéfice maximal est : B(5,625)=-4×5,6252+45×5,625-50=76,5625

      Le tableau des variations de B est :

      x05,625 12

      Variations de B

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      76,5625

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Le bénéfice est maximal si l'entreprise produit et vend 5 625 articles.


    3. Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).

      Le polynôme du second degré -4x2+45x-50 avec a=-4, b=45 et c=-50 est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.

      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=452-4×(-4)×(-50)=1225 donc Δ=35

      Δ>0 donc le trinôme a deux racines : x1=-b-Δ2aetx2=-b+Δ2aSoitx1=-45-35-8=10etx2=-45+35-8=1,25

      D'où le tableau du signe de B(x) en fonction de x

      x01,251012

      Signe de B(x)

      0||+0||

      Ainsi, la production est rentable pour des quantités comprises entre 1 250 et 10 000 d'articles.



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