contrôle du 31 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 2

Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$. Sa courbe représentative dans un repère orthonormal est une parabole passant les points : $A\left(-2;7\right)$, $B\left(0;1\right)$ et $C\left(2;-1\right)$.

1. À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels a, b, et c, et en déduire l'équation de la parabole.

   $M\left(x;y\right)$ est un point de la parabole si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole :

   • $A\left(-2;7\right)$ est un point de la parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ d'où $4a-2b+c=7$ ;
   • $B\left(0;1\right)$ est un point de la parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ d'où $c=1$ ;
   • $C\left(2;-1\right)$ est un point de la parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ d'où $4a+2b+c=-1$.

   a, b, et c sont donc solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rrr}4a-2b+c& =& 7\\ 4a+2b+c& =& -1\\ c& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}4a-2b& =& 6\\ 4a+2b& =& -2\\ c& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}4a-2b& =& 6\\ 8a& =& 4\\ c& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}2-2b& =& 6\\ a& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ c& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ b& =& -2\\ c& =& 1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, la courbe représentative de la fonction f est la parabole d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1$.

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2. On note P la parabole d'équation : $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1$. Calculer les coordonnées de ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.

   Les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+1=0$$

   $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{,}b=-2\text{ et }c=1$. D'où $$\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1=2$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{1}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{1}}\\ \text{D'où}& x_1=2-\sqrt{2}& \text{et}& x_2=2+\sqrt{2}\end{array}$$

   La parabole P coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $\left(2-\sqrt{2};0\right)$ et $\left(2+\sqrt{2};0\right)$.

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