contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 3

Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x$ au point d'abscisse $-2$.

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La parabole d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x$ est la courbe représentative de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x$ .
Par conséquent, une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x$ au point d'abscisse $-2$ est :$$y=f\prime \left(-2\right)\times \left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

Or pour tout réel x $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}-2$. Comme $$\begin{array}{ccc}f\left(-2\right)=-{\displaystyle \frac{{\left(-2\right)}^2}{4}}-2\times \left(-2\right)=3& \text{et}& f\prime \left(-2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-2\right)-2=-1\end{array}$$

Donc une équation de la tangente à la parabole au point d'abscisse $-2$ est :$$\begin{array}{ccc}y=-1\times \left(x+2\right)+3& \iff & y=-x+1\end{array}$$

La tangente à la parabole d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x$ au point d'abscisse $-2$ a pour équation $y=-x+1$.

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