contrôle du 15 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 2

Déterminer l'expression de f en fonction de x.

• Sur l'intervalle $\left[-7;-2\right]$ , la portion de courbe est un segment de la droite $d_1$ passant par les points de coordonnées $\left(-7;5\right)$ et $\left(-2;1\right)$.

  L'équation de la droite $d_1$ est $y=ax+b$ avec $$a={\displaystyle \frac{1-5}{-2-\left(-7\right)}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}=-\mathrm{0,8}$$

  et b tel que $$\begin{array}{lll}-\mathrm{0,8}\times \left(-2\right)+b=1& \iff & b=-\mathrm{0,6}\end{array}$$

  Ainsi, sur l'intervalle $\left[-7;-2\right]$, $f\left(x\right)=-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,6}$

• Sur l'intervalle $\left]-2;2\right]$, la portion de courbe est un segment de la droite $d_2$ passant par les points de coordonnées $\left(-2;3\right)$ et $\left(2;5\right)$.

  L'équation de la droite $d_2$ est $y=ax+b$ avec $$a={\displaystyle \frac{5-3}{2-\left(-2\right)}}={\displaystyle \frac{2}{4}}=\mathrm{0,5}$$

  Or la droite $d_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(2;4\right)$ donc $b=4$.

  Ainsi, sur l'intervalle $\left]-2;-2\right[$, $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+4$

• Sur l'intervalle $\left[2;6\right]$ , la portion de courbe est un segment de la droite $d_3$ passant par les points de coordonnées $\left(2;5\right)$ et $\left(6;0\right)$.

  L'équation de la droite $d_3$ est $y=ax+b$ avec $$a={\displaystyle \frac{0-5}{6-2}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-\mathrm{1,25}$$

  et b tel que $$\begin{array}{lll}-\mathrm{1,25}\times 6+b=0& \iff & b=\mathrm{7,5}\end{array}$$

  Ainsi, sur l'intervalle $\left[2;6\right]$, $f\left(x\right)=-\mathrm{1,25}x+\mathrm{7,5}$

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Soit f est la fonction définie sur $\left[-7;6\right]$ par $\{\begin{array}{ll}f\left(x\right)=-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,6}& \text{pour }x\in \left[-7;-2\right]\\ f\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+4& \text{pour }x\in \left]-2;-2\right[\\ f\left(x\right)=-\mathrm{1,25}x+\mathrm{7,5}& \text{pour }x\in \left[2;6\right]\end{array}$

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