contrôle du 20 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. Déterminer une équation de la droite $d_2$.

   La droite $d_2$ passe par les points $A\left(30;0\right)$ et $B\left(60;4\right)$. Son équation est de la forme $y=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{4-0}{60-30}}={\displaystyle \frac{2}{15}}\end{array}$$

   D'autre part, le point $A\left(30;0\right)$ appartient à la droite $d_2$ alors, son équation est :$$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{2}{15}}\times \left(x-30\right)+0& \iff & y={\displaystyle \frac{2}{15}}x-4\end{array}$$

   La droite $d_2$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{2x}{15}}-4$.

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2. Calculer les coordonnées du point C intersection des deux droites.

   $C\left(x;y\right)$ est le point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ alors ses coordonnées, sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{lll}y& =& -\mathrm{0,025}x+\mathrm{7,4}\\ y& =& {\displaystyle \frac{2x}{15}}-4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -\mathrm{0,025}x+\mathrm{7,4}\\ {\displaystyle \frac{2x}{15}}-4& =& -\mathrm{0,025}x+\mathrm{7,4}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -\mathrm{0,025}x+\mathrm{7,4}\\ {\displaystyle \frac{\mathrm{2,375}}{15}}x& =& \mathrm{11,4}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}y& =& \mathrm{5,6}\\ x& =& 72\end{array}\end{array}$$

   Le point C a pour coordonnées $C\left(42;\mathrm{5,6}\right)$.

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3. Caractériser par un système d'inéquations, l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ situés à l'intérieur du quadrilatère OACD frontières comprises.

   L'ensemble des points situés à l'intérieur du polygone OACD frontières comprises est l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ situés :

   • dans le demi-plan situé en dessous de la droite $d_1$ alors $y⩽-\mathrm{0,025}x+\mathrm{7,4}$
   • dans le demi-plan situé au dessus de la droite $d_2$ alors $y⩾{\displaystyle \frac{2x}{15}}-4$
   • et tels que $x⩾0$ et $y⩾0$

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   Ainsi, l'ensemble des points situés à l'intérieur du polygone OACD frontières comprises est l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ dont les coordonnées sont solutions du système d'inéquations :$$\{\begin{array}{l}x⩾0\\ y⩾0\\ y⩽-\mathrm{0,025}x+\mathrm{7,4}\\ y⩾{\displaystyle \frac{2x}{15}}-4\end{array}$$

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