contrôle du 19 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 2

La courbe (C) tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ . On sait d'autre part, que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions 0 et 4,5.

À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x.

   Les coordonnées des points d'intersection de la courbe (C) avec l'axe des abscisses sont $\left(0;0\right)$ et $\left(\mathrm{4,5};0\right)$ . D'autre part, la courbe est située au dessus de l'axe des abscisses pour les points dont l'abscisse est inférieure à 4,5 et au dessous de l'axe des abscisses pour les points dont l'abscisse est supérieure à 4,5.

   Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]-\infty ;\mathrm{4,5}\right]$, $f\left(x\right)⩾0$.
   Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{4,5};+\infty \right[$, $f\left(x\right)⩽0$.

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2. Établir le tableau des variations de la fonction ${\left(f\right)}^2$ composée de la fonction f suivie de la fonction carrée.

   La fonction carrée est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ et strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   Par conséquent, les fonctions ${\left(f\right)}^2$ et f ont des variations contraires sur tout intervalle où f est négative et sur tout intervalle où f est positive les fonctions ${\left(f\right)}^2$ et f ont les mêmes variations.

   D'où le tableau des variations de ${\left(f\right)}^2$

   x	$-\infty$		0		3		4,5		$+\infty$
   ${\left[f\left(x\right)\right]}^2$			0				0

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À titre indicatif, la courbe représentative de la fonction ${\left(f\right)}^2$ est donnée ci-dessous.

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