contrôle du 19 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $3x^2=2-x$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}3x^2=2-x& \iff & 3x^2+x-2=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $3x^2+x-2=0$ avec $a=3$, $b=1$ et $c=-2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1^2-4\times 3\times \left(-2\right)=25\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-1-5}{2\times 3}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-1+5}{2\times 3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-1;-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right\}$

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2. $2x^2-3x+2=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-3x+2=0$ avec $a=2$, $b=-3$ et $c=2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times 2\times 2=-7\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }<0$ donc l'équation n'a pas de solution.

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3. $x^2-3x+1=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^2-3x+1=0$ avec $a=1$, $b=-3$ et $c=1$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times 1\times 1=5\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}};{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right\}$

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