contrôle du 19 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 5

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P d'équation $y=2x^2+x-1$ avec la droite D d'équation $y=4x+1$.

• Les abscisses des points d'intersection de la parabole P avec la droite D sont solutions de l'équation $$\begin{array}{ccc}2x^2+x-1=4x+1& \iff & 2x^2-3x-2=0\end{array}$$

  Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-3x-2=0$ avec $a=2$, $b=-3$ et $c=-2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times 2\times \left(-2\right)=25\end{array}$$

  $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{3-5}{2\times 2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+5}{2\times 2}}=2\end{array}$$

• Les coordonées des points d'intersection vérifient l'équation de la droite D d'où :$$\begin{array}{llll}& y_1=4x_1+1& \text{Soit}& y_1=4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+1=-1\\ \text{et}& y_2=4x_2+1& \text{Soit}& y_2=4\times 2+1=9\end{array}$$

La parabole P coupe la droite D en deux points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-1\right)$ et $\left(2;9\right)$

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