contrôle du 19 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 3

f est une fonction polynôme du second degré définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+b$ (avec $a\ne 0$ ). Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de a et indiquer si le discriminant Δ est négatif, positif ou nul.

1. La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction f.

   • La parabole est "tournée vers le haut", donc $a>0$.

   • La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions d'où $\mathrm{\Delta }>0$.

   Dans ce cas, $a>0$ et $\mathrm{\Delta }>0$.

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2. La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction f.

   • La parabole est "tournée vers le bas ", donc $a<0$.

   • La parabole est tangente à l'axe des abscisses donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution d'où $\mathrm{\Delta }=0$.

   Dans ce cas, $a<0$ et $\mathrm{\Delta }=0$.

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3. Le tableau des variations de la fonction f est :

   x	$-\infty$		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-2$

   • La fonction f admet un minimum , donc $a>0$.

   • Le minimum de la fonction f est négatif donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions d'où $\mathrm{\Delta }>0$.

   Dans ce cas, $a>0$ et $\mathrm{\Delta }>0$.

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4. Le tableau des variations de la fonction f est :

   x	$-\infty$		$-3$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-1$

   • La fonction f admet un maximum , donc $a<0$.

   • Le maximum de la fonction f est négatif donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution d'où $\mathrm{\Delta }<0$.

   Dans ce cas, $a>0$ et $\mathrm{\Delta }<0$.

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