contrôle du 19 mars 2009

Corrigé de l'exercice 1

Dans chaque cas, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{2}}-3x^2+{\displaystyle \frac{5}{x}}$

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(3x^2\right)-3\times \left(2x\right)+5\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-6x-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-6x-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}$.

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2. f est définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x-1}}$

   Posons pour tout réel $x>1$, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=\sqrt{x}& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x-1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$ alors, $\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$

   Donc pour tout réel $x>1$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x-1}{2\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\times 1}{{\left(x-1\right)}^2}}& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x-1-\sqrt{x}\times \left(2\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}}}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ & \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1-2x}{2\sqrt{x}{\left(x-1\right)}^2}}\\ & \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-1-x}{2\sqrt{x}{\left(x-1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x+1}{2\sqrt{x}{\left(x-1\right)}^2}}$

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3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-2x\right)\left(\mathrm{0,5}{x}^2+1\right)$

   Posons pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=1-2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=x\end{array}$ alors, $\begin{array}{ccc}f=u\times v& \text{d'où}& f\prime =u\prime v+uv\prime \end{array}$

   Donc pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)=-2\times \left(\mathrm{0,5}{x}^2+1\right)+\left(1-2x\right)\times x& \iff & f\prime \left(x\right)=-x^2-2+x-2x^2\\ & \iff & f\prime \left(x\right)=-3x^2+x-2\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=-3x^2+x-2$

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