contrôle du 19 mars 2009

exercice 1

Dans chaque cas, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{2}}-3x^2+{\displaystyle \frac{5}{x}}$

2. f est définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x-1}}$

3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-2x\right)\left(\mathrm{0,5}{x}^2+1\right)$

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exercice 2

Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$ au point d'abscisse − 1.

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exercice 3

Sur la figure ci-dessous, $C_f$ est la courbe représentative d'une fonction f dérivable sur $ℝ$. Les droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $C_f$.

1. Déterminer graphiquement $f\left(-4\right)$, $f\left(-2\right)$ et $f\left(2\right)$.

2. Déterminer graphiquement, les nombres dérivés $f\prime \left(-4\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

3. La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse − 2 passe par l'origine du repère. Déterminer $f\prime \left(-2\right)$.

4. La tangente T à la courbe $C_f$ au point $B\left(-6;{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)$ est parallèle à la droite $d_4$. Déterminer $f\prime \left(-6\right)$ puis, donner une équation de la tangente T à la courbe au point B. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

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exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x+3}{x^2-x+1}}$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extrema).

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