Soit f la fonction définie sur par . On note sa fonction dérivée.
Calculer .
Pour tout réel x posons : alors,
Donc pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie sur par
Étudier le signe de .
Pour tout réel x, . Donc est du même signe que le polynôme du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est d'où :
donc le polynôme a deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x :
x | |||||||
Signe de | − | + | − |
En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extrema).
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée. D'où le tableau des variations de f
x | |||||||
− | + | − | |||||
calcul des extrema :
La fonction f admet un minimum relatif en − 2 et
La fonction f admet un maximum relatif en et
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