contrôles en première ES

contrôle du 19 mars 2009

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur par f(x)=5x+3x2-x+1. On note f sa fonction dérivée.

  1. Calculer f(x).

    Pour tout réel x posons : {u(x)=5x+3 d'où u(x)=5etv(x)=x2-x+1 d'où v(x)=2x-1 alors, f=uv d'où f=uv-uvv2

    Donc pour tout réel x, f(x)=5×(x2-x+1)-(5x+3)×(2x-1)(x2-x+1)2f(x)=5x2-5x+5-10x2+5x-6x+3(x2-x+1)2f(x)=-5x2-6x+8(x2-x+1)2

    Ainsi, f est la fonction définie sur par f(x)=-5x2-6x+8(x2-x+1)2


    1. Étudier le signe de f(x).

      Pour tout réel x, (x2-x+1)2>0. Donc f(x) est du même signe que le polynôme du second degré -5x2-6x+8 avec a=-5, b=-6 et c=8.
      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=36+160=196

      Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=6-14-10=45etx2=-b+Δ2aSoitx2=6+14-10=-2

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x :

      x- -2 45 +

      Signe de f(x)

       0||+0|| 

    2. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extrema).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée. D'où le tableau des variations de f

      x- -2 45 +
      f(x) 0||+0|| 

      f(x)

       fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -1

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      253

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      calcul des extrema :

      • La fonction f admet un minimum relatif en − 2 et f(-2)=5×(-2)+3(-2)2-(-2)+1=-1

      • La fonction f admet un maximum relatif en 45 et f(45)=5×45+3(45)2-45+1=716-20+2525=253


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