contrôles en première ES

contrôle du 09 janvier 2012

Corrigé de l'exercice 1

Soit C la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle ]0;15] par : C(x)=x33-2x2+15x+81.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués. La courbe CT représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 €.

  1. On note R(x) la recette générée par la production et la vente de x milliers d'articles.

    1. Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.

      Chaque article produit est vendu au prix de 60 € d'où R(x)=60x

      La courbe représentative de la fonction R est la droite D d'équation y=60x passant par l'origine du repère les point de coordonnées (15;900)

      Courbe représentative des fonctions C et B: L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.

      L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la droite D est située au dessus de la courbe Cf.

      Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 2000 et 14000 articles.


  2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle ]0;15] par B(x)=R(x)-C(x).

    1. Calculer B(x)

      Pour tout réel x de l'intervalle ]0;15], B(x)=60x-(x33-2x2+15x+81)=-x33+2x2+45x-81

      La fonction B est dérivable comme somme de fonctions dérivables.

      Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;15], B(x)=-3×x23+2×2×x+45=-x2+4x+45

      Ainsi, B est la fonction définie sur l'intervalle ]0;15] par B(x)=-x2+4x+45


    2. Étudier les variations de la fonction B.

      Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée

      Étudions le signe du polynôme du second degré -x2+4x+45 avec a=-1, b=4 et c=45.

      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=42-4×(-1)×45=196

      Δ>0 donc le trinôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-4-14-2=9etx2=-b+Δ2aSoitx2=-4+14-2=-5

      Nous pouvons en déduire le signe de B(x) sur l'intervalle ]0;15] ainsi que les variations de la fonction B :

      x0915
      B(x)+0||

      B(x)

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    3. En déduire la production a pour laquelle le bénéfice est maximal.
      Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?

      D'après le tableau des variations, la fonction B admet un maximum atteint pour x=9 et ce maximum est :B(9)=-933+2×92+45×9-81=243

      Le bénéfice maximal est de 243 000 € pour la production et la vente de 9 000 unités.


  3. La fonction coût moyen, notée CM, est la fonction définie sur l'intervalle ]0;15] par CM(x)=C(x)x

    1. Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe CT tel que la droite (OA) soit tangente à CT .
      On appelle a l'abscisse du point A.

      Courbe moyen : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à CM(a).

      La droite (OA) passe par l'origine du repère, donc le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à yAxA.
      Or le point A d'abscisse a appartient à la courbe CT donc les coordonnées du point A sont A(a;C(a))

      Par conséquent, le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à C(a)x=CM(a).


    3. Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction CM sur l'intervalle ]0;15].

      Pour tout point A de la courbe CT, le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen. Sur le graphique, on constate que :

      • si x]0;a] , le coefficient directeur de la droite (OA) décroit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction coût moyen est décroissante sur ]0;a].

      • si x[a;15], le coefficient directeur de la droite (OA) croit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction coût moyen est croissante sur [a;15].

      Nous pouvons émettre l'hypothèse que le tableau des variations de la fonction CM est le suivant :

      x0a6,215
      CM(x)fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour le point A d'abscisse a tel que la droite (OA) soit tangente à la courbe CT.



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