Soit C la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle par : .
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués. La courbe représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.
On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 €.
On note la recette générée par la production et la vente de x milliers d'articles.
Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.
Chaque article produit est vendu au prix de 60 € d'où
La courbe représentative de la fonction R est la droite D d'équation passant par l'origine du repère les point de coordonnées
Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la droite D est située au dessus de la courbe .
Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 2000 et 14000 articles.
Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle par .
Calculer
Pour tout réel x de l'intervalle ,
La fonction B est dérivable comme somme de fonctions dérivables.
Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier les variations de la fonction B.
Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée
Étudions le signe du polynôme du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est d'où :
donc le trinôme a deux racines :
Nous pouvons en déduire le signe de sur l'intervalle ainsi que les variations de la fonction B :
x | 0 | 9 | 15 | ||||
+ | − | ||||||
En déduire la production pour laquelle le bénéfice est maximal.
Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?
D'après le tableau des variations, la fonction B admet un maximum atteint pour et ce maximum est :
Le bénéfice maximal est de 243 000 € pour la production et la vente de 9 000 unités.
La fonction coût moyen, notée , est la fonction définie sur l'intervalle par
Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe tel que la droite (OA) soit tangente à .
On appelle a l'abscisse du point A.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à .
La droite (OA) passe par l'origine du repère, donc le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à .
Or le point A d'abscisse a appartient à la courbe donc les coordonnées du point A sont
Par conséquent, le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à .
Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction sur l'intervalle .
Pour tout point A de la courbe , le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen. Sur le graphique, on constate que :
si , le coefficient directeur de la droite (OA) décroit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction coût moyen est décroissante sur .
si , le coefficient directeur de la droite (OA) croit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction coût moyen est croissante sur .
Nous pouvons émettre l'hypothèse que le tableau des variations de la fonction est le suivant :
x | 0 | 15 | |||||
Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour le point A d'abscisse a tel que la droite (OA) soit tangente à la courbe .
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