contrôles en première ES

contrôle du 09 janvier 2012

Thèmes :

  • Dérivée d'une fonction .
  • Fonction dérivée et variation.

exercice 1

Soit C la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle 015 par : Cx=x33-2x2+15x+81.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués. La courbe CT représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction C : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 €.

  1. On note Rx la recette générée par la production et la vente de x milliers d'articles.

    1. Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.

      Chaque article produit est vendu au prix de 60 € d'où Rx=60x

    2. Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.

  2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle 015 par Bx=Rx-Cx.

    1. Calculer Bx

    2. Étudier les variations de la fonction B.

    3. En déduire la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
      Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?

  3. La fonction coût moyen, notée CM, est la fonction définie sur l'intervalle 015 par CMx=Cxx

    1. Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe CT tel que la droite (OA) soit tangente à CT .
      On appelle a l'abscisse du point A.

    2. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à CMa.

    3. Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction CM sur l'intervalle 015.


exercice 2

Soit f la fonction définie sur par fx=5x+3x2-x+1.
On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Montrer que la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur par fx=-5x2-6x+8x2-x+12.

  2. Étudier les variations de la fonction f.

  3. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A d'abscisse 5.
    Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous.

    Courbe représentative de la fonction C : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle -12+ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

x-12 2 +
fx   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

6

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  1. On note f la dérivée de la fonction f. Déterminer f2.

  2. Déterminer les réels a et b tels que fx=ax+b+252x+1.

  3. On admet que f est la fonction définie sur l'intervalle -12+ par fx=2x-3+252x+1.
    Justifier par le calcul les résultats obtenus dans le tableau de variation.


Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.