contrôles en première ES

contrôle du 09 janvier 2012

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]-12;+[ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

x-12 2 +
f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

6

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
  1. On note f la dérivée de la fonction f. Déterminer f(2).

    f admet un minimum pour x=2 d'où f(2)=0.


  2. Déterminer les réels a et b tels que f(x)=ax+b+252x+1.

    • f(2)=6 d'où 2a+b+252×2+1=62a+b+5=6

    • Pour tout réel x>-12, f(x)=a-25×2(2x+1)2=a-50(2x+1)2

      f(2)=0 d'où a-50(2×2+1)2=0a-2=0

    Ainsi, a et b sont solution du système : {2a+b=1a=2{b=-3a=2

    f est la fonction définie sur l'intervalle ]-12;+[ par f(x)=2x-3+252x+1.


  3. On admet que f est la fonction définie sur l'intervalle ]-12;+[ par f(x)=2x-3+252x+1.
    Justifier par le calcul les résultats obtenus dans le tableau de variation.

    D'après la question précédente, f(2)=6 et f(2)=0. D'autre part, les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée avec f(x)=2-50(2x+1)2=2×(2x+1)2-50(2x+1)2=2×[(2x+1)2-25](2x+1)2=2×(2x+1-5)×(2x+1+5)(2x+1)2=2(2x-4)(2x+6)(2x+1)2

    Pour tout réel x>-12, (2x+1)2>0 donc sur l'intervalle ]-12;+[, f(x) est du même signe que le produit (2x-4)(2x+6)

    Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

    x-12 2 +
    Signe de f(x)   0||+ 
    f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    6

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

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