contrôle du 09 janvier 2012

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x+3}{x^2-x+1}}$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Montrer que la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2-6x+8}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=5x+3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=5\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-1\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5\times \left(x^2-x+1\right)-\left(5x+3\right)\times \left(2x-1\right)}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5x^2-5x+5-\left(10x^2-5x+6x-3\right)}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-5x^2-6x+8}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2-6x+8}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}$.

   ---

2. Étudier les variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x, ${\left(x^2-x+1\right)}^2>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-5x^2-6x+8$ avec $a=-5$, $b=-6$ et $c=8$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=36+160=196\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{6-14}{-10}}=\mathrm{0,8}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{6+14}{-10}}=-2\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

   x	$-\infty$		−2		0,8		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f			−1		${\displaystyle \frac{25}{3}}$

   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un minimum relatif en $-2$ et $$f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{-10+3}{4+2+1}}=-1$$

   • La fonction f admet un maximum relatif en 0,8 et $$f\left(\mathrm{0,8}\right)={\displaystyle \frac{4+3}{\mathrm{0,64}-\mathrm{0,8}+1}}={\displaystyle \frac{7}{\mathrm{0,84}}}={\displaystyle \frac{25}{3}}$$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 5.
   Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 5 a pour équation : $$y=f\prime \left(5\right)\left(x-5\right)+f\left(5\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(5\right)={\displaystyle \frac{25+3}{25-5+1}}={\displaystyle \frac{4}{3}}& \text{et}& f\prime \left(5\right)={\displaystyle \frac{-25-30+8}{{\left(25-5+1\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left(x-5\right)+{\displaystyle \frac{4}{3}}& \iff & y=-{\displaystyle \frac{x}{3}}+3\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{3}}+3$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.