contrôle du 09 mars 2012

Corrigé de l'exercice 2

Un QCM (questionnaire à choix multiples) comporte cinq questions indépendantes et, pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Un élève répond au hasard à ce QCM.

1. On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues par cet élève.
   Donner la loi de probabilité de X ainsi que son espérance mathématique.

   Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Donc la probabilité de donner une réponse exacte à chacune des cinq questions en répondant au hasard est 0,25.

   La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres 5 et ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Son espérance mathématique est $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{5}{4}}$.

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2. Calculer la probabilité que cet élève obtienne exactement deux réponses exactes.

   $$p\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2\times {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3=10\times {\displaystyle \frac{1}{16}}\times {\displaystyle \frac{27}{64}}={\displaystyle \frac{135}{512}}$$

   La probabilité d'obtenir exactement deux réponses exactes en répondant au hasard à ce QCM est ${\displaystyle \frac{135}{512}}$.

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3. Calculer la probabilité que cet élève obtienne au moins quatre réponses exactes.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾4\right)& =& p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)\hfill \\ & =& \left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^4\times \left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^5\hfill \\ & =& 5\times {\displaystyle \frac{1}{256}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{1024}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{64}}\hfill \end{array}$$

   La probabilité d'obtenir au moins quatre réponses exactes en répondant au hasard à ce QCM est ${\displaystyle \frac{1}{64}}$.

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