contrôle du 09 mars 2012

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x-3}{x^2+x+1}}$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=5x-3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=5\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x+1\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5\times \left(x^2+x+1\right)-\left(5x-3\right)\times \left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5x^2+5x+5-\left(10x^2+5x-6x-3\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-5x^2+6x+8}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2+6x+8}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}}$.

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2. Étudier les variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x, ${\left(x^2+x+1\right)}^2>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-5x^2+6x+8$ avec $a=-5$, $b=6$ et $c=8$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=36+160=196\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-6-14}{-10}}=2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-6+14}{-10}}=-\mathrm{0,8}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

   x	$-\infty$		−0,8		2		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f			$-\frac{25}{3}$		1

   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un minimum relatif en $-\mathrm{0,8}$ et $$f\left(-\mathrm{0,8}\right)={\displaystyle \frac{-4-3}{\mathrm{0,64}-\mathrm{0,8}+1}}=-{\displaystyle \frac{7}{\mathrm{0,84}}}=-{\displaystyle \frac{25}{3}}$$

   • La fonction f admet un maximum relatif en 2 et $$f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{10-3}{4+2+1}}=1$$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
   Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ a pour équation : $$y=f\prime \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\times \left(x-5\right)+f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{15}{2}}-3}{{\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1}}=-6& \text{et}& f\prime \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{45}{4}}+9+8}{{\left({\displaystyle \frac{7}{4}}\right)}^2}}=-4\end{array}$$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-4\times \left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)-6& \iff & y=-4x-12\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-4x-12$.

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