contrôles en première ES

contrôle du 21 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note f la dérivée de la fonction f.
On donne ci-dessous la courbe 𝒞f représentative de la fonction f.
La tangente à la courbe 𝒞f au point B passe par le point de coordonnées (-3;3).

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À partir du graphique et des données de l'énoncé :

    1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0.

      La courbe 𝒞f admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses donc :

      l'équation f(x)=0 admet deux solutions.


    2. Déterminer f(1).

      Le nombre dérivé f(1) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞f au point B de coordonnées (1;0) qui passe par le point de coordonnées (-3;3) d'où f(1)=-3-03-1=-32.

      Ainsi, f(1)=-32.


  2. La tangente à la courbe 𝒞f au point D d'abscisse 5 a pour équation y=78x-14524. En déduire les valeurs de f(5) et f(5).

    Le D d'abscisse 5 est commun à la tangente et à la courbe d'où f(5)=78×5-14524=-53.

    Le nombre dérivé f(5) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point D d'où f(5)=78.

    Ainsi, f(5)=-53 et f(5)=78.


  3. La proposition « f(0)>1 » est-elle vraie ou fausse ?

    Sur l'intervalle [-2;1], la fonction f est strictement décroissante donc f(0)0.

    La proposition « f(0)>1 » est fausse.


  4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f . Déterminer laquelle.

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 𝒞1Courbe 𝒞2Courbe 𝒞3
    • Sur l'intervalle ]-;-2[, la fonction f est strictement croissante donc si x-6 alors f(x)0. Par conséquent, la courbe 𝒞1 ne peut pas représenter la fonction f.

    • f(1)=-32 donc la courbe 𝒞2 ne peut pas représenter la fonction f.

    La courbe 𝒞3 est la seule courbe qui puisse représenter la fonction f.



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