contrôles en première ES

contrôle du 14 mai 2018

Corrigé de l'exercice 4

Pour respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets polluants de 6 %.
En 2015, la quantité de rejets polluants était de 50 000 tonnes.

  1. Quel a été la quantité de rejets polluants en 2017 ?

    Avec une baisse annuelle de 6 % de la quantité de rejets polluants sur deux ans est :50000×(1-6100)2=44180

    En 2017, la quantité de rejets polluants était de 44 180 tonnes.


  2. Pour tout entier naturel n, on note rn la quantité, en tonnes, de rejets polluants pour l'année (2015+n). On a donc r0=50000.

    1. Exprimer rn+1 en fonction de rn. En déduire la nature de la suite (rn).

      Pour tout entier naturel n, rn+1=rn×(1-6100)=0,94×rn

      Pour tout entier naturel n, rn+1=0,94×rn donc (rn) est une suite géométrique de raison q=0,94.


    2. Donner l'expression de rn en fonction de n.

      (rn) est une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme r0=50000 donc pour tout entier naturel n, rn=50000×0,94n.


  3. Étudier le sens de variation de la suite (rn).

    Pour tout entier naturel n, rn+1-rn=50000×0,94n+1-50000×0,94n=50000×0,94n×0,94-50000×0,94n=50000×0,94n×(0,94-1)=-3000×0,94n

    Or pour tout entier naturel n, 0,94n>0 d'où -3000×0,94n<0

    Ainsi, pour tout entier naturel n, rn+1-rn<0 donc la suite (rn) est strictement décroissante.


  4. La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.

    1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin de déterminer au bout de combien d'années la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.

      La masse de rejets polluants après une baisse totale de 60 % est 50000×(1-60100)=20000

      R50000
      N0

      Tant que R>20000
      R0,94×R

      NN+1
      Fin Tant que

    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de la variable N calculée par cet algorithme.
      En déduire l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.

      À l'aide de la calculatrice on trouve N=15. C'est à partir de 2030 que la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.



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