contrôle du 14 mai 2018

exercice 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $u_n={\displaystyle \frac{2n}{3}}+1$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

2. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ?

3. Déterminer le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$ supérieur à 20.

4. Calculer la somme de termes consécutifs de la suite $\left(u_n\right)$ : $S=1+{\displaystyle \frac{5}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{61}{3}}+21$.

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exercice 2

$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique à termes positifs telle que $u_5=5$ et $u_7={\displaystyle \frac{125}{9}}$.
Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de n.

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exercice 3

$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique à termes non nuls, de raison $q\ne 1$ telle que $5u_2=7u_1-2u_0$.

1. Déterminer la raison q de la suite $\left(u_n\right)$.

2. On donne $u_0=\mathrm{6,25}$. Calculer $u_4$.

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exercice 4

Pour respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets polluants de 6 %.
En 2015, la quantité de rejets polluants était de 50 000 tonnes.

1. Quel a été la quantité de rejets polluants en 2017 ?

2. Pour tout entier naturel n, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de rejets polluants pour l'année $\left(2015+n\right)$.
   On a donc $r_0=50000$.

   1. Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. En déduire la nature de la suite $\left(r_n\right)$.

   2. Donner l'expression de $r_n$ en fonction de n.

3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(r_n\right)$.

4. La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.

   1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin de déterminer au bout de combien d'années la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.

      $R\leftarrow 50000$
      $N\leftarrow 0$

      Tant que R …
      $R\leftarrow \dots$
      $N\leftarrow N+1$
      Fin Tant que

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de la variable N calculée par cet algorithme.
      En déduire l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60 %.

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