contrôle du 10 décembre 2005

Corrigé de l'exercice 4

Un carré a pour côté a. Un rectangle a pour côtés 4 et x.

1. Dans le cas où le rectangle et le carré ont le même périmètre :

   1. Exprimer x en fonction de a.

      Le demi-périmètre du carré est $2a$ et le demi-périmètre du rectangle est $4+x$. Si le carré et le rectangle ont le même périmètre, alors $$\begin{array}{ccc}4+x=2a& \iff & x=2a-4\end{array}$$

      Dans le cas où le rectangle et le carré ont le même périmètre, le rectangle a pour côtés 4 et $x=2a-4$.

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   2. Comparer l'aire du rectangle et l'aire du carré.

      L'aire du carré est égale à $a^2$ et l'aire du rectangle est égale à $4\times \left(2a-4\right)$. Pour comparer ces deux aires, on étudie le signe de leur différence :$$\begin{array}{rcl}{a}^2-4\times \left(2a-4\right)& =& a^2-8a+16\\ & =& {\left(a-4\right)}^2\end{array}$$

      D'où $a^2-4\times \left(2a-4\right)⩾0$

      Dans le cas où le rectangle et le carré ont le même périmètre l'aire du carré est supérieure à l'aire du rectangle.

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2. Dans le cas où le rectangle et le carré ont la même aire comparer leurs périmètres.

   • Si le rectangle et le carré ont la même aire alors $$\begin{array}{ccc}4x=a^2& \iff & x={\displaystyle \frac{a^2}{4}}\end{array}$$
   • Le perimètre du rectangle est égal à $2\times \left({\displaystyle \frac{a^2}{4}}+4\right)$ et le périmètre du carré est égal à $4a$
   • Pour comparer ces deux périmètres, on étudie le signe de leur différence :$$\begin{array}{rcl}2\times \left({\displaystyle \frac{a^2}{4}}+4\right)-4a& =& {\displaystyle \frac{a^2}{2}}+8-4a\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(a^2-8a+16\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(a-4\right)}^2\end{array}$$

   D'où $2\times \left({\displaystyle \frac{a^2}{4}}+4\right)-4a⩾0$

   Dans le cas où le rectangle et le carré ont ont la même aire, le périmètre du rectangle est supérieur au périmètre du carré.

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