contrôle du 17 Octobre 2005

Exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. ${\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\left(2x+1\right)}^2$.

2. $\left(x+3\right)\left(1-2x\right)=x^2-9$.

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Exercice 2

1. Montrer que pour tout réel x; $\left(x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\right)=x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $x^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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Exercice 3

1. Soit a un réel de l'intervalle $\left]0;1\right[$. Comparer a et $a^2$.

2. Soit x un réel de l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{2}{5}};{\displaystyle \frac{2}{3}}\right[$.

   1. Déterminer un encadrement de $\left(2-3x\right)$.

   2. Comparer $\left(2-3x\right)$ et ${\left(2-3x\right)}^2$.

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Exercice 4

ABC est un triangle équilatéral. Le point D de la droite (AB) et le point E de la droite (AC) sont tels que $BD=CE$. Montrer que $CD=AE$.

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Exercice 5

Dans le triangle ABC la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe [BC] en I. La droite (AI) est perpendiculaire aux droites (BJ) et (CK). Montrer que ${\displaystyle \frac{IB}{IC}}={\displaystyle \frac{BJ}{CK}}$. Montrer que les triangles JAB et KAC sont semblables. Montrer que ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{IB}{IC}}$.

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