contrôle du 19 novembre 2005

Exercice 1

1. Dans chaque cas, caractériser à l'aide d'intervalles, l'ensemble des réels x satisfaisant à la condition indiquée :

   1. $\left|x-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right|⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}$

   2. $\left|x+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. Dans chaque cas, caractériser à l'aide de la notation valeur absolue, l'ensemble des réels x satisfaisant à la condition indiquée :

   1. $x\in \left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};-1\right[$.

   2. $x\in \left[-{\displaystyle \frac{3}{4}};1\right]$.

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Exercice 2

x désigne un nombre réel. $A={\left(2x-1\right)}^2$ et $B={\left(x-2\right)}^2$.

1. Factoriser la différence $A-B$.

2. Étudier le signe de $A-B$ et comparer alors A et B.

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Exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. ${\left(2x-1\right)}^2<{\left(2-3x\right)}^2$.

2. ${\displaystyle \frac{2x^2}{x^2+2}}⩽1$.

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Exercice 4

ABC et ADE sont deux triangles isocèles de sommet principal A et tels que $\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$. Montrer que $BD=CE$.

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Exercice 5

A, B, C et D sont quatre points du cercle 𝒞 de centre O tels que les droites (AB) et (CD) sont sécantes en un point P. Montrer que les triangles PAC et PBD sont semblables. En déduire que $PA\times PB=PC\times PD$.

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Exercice 6

a et b sont deux réels strictement positifs comparer ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ et $\sqrt{ab}$.

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