contrôle commun de seconde du 05 Avril 2005

Exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation suivante : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x-3\right)-4x⩾5\left({\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{5}}\right)$

2. Écrire chaque expression sous forme d'un seul quotient, puis factoriser le numérateur obtenu :

   1. $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{8}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{x+2}}$

   2. $B\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}}$

3. Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que : $${\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}}$$

4. Recopier et compléter le texte suivant :

   1. $\dots ⩽x⩽\dots$ équivaut à $x\in [1;5]$. Le centre de cet intervalle est …, son rayon est … , donc : $x\in [1;5]$ équivaut à $|x-\dots |⩽2$.

   2. $x>7$ équivaut à $x\in ]\dots ;\dots [$.

5. Déterminer la fonction affine f sachant que $f\left(2\right)=2$ et $f(-4)=5$.

6. Tracer dans un même repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥})$ les trois droites d'équation respective :

   a. $x=2$

   b. $y=3$

   c. $y=-2x+1$

   Marquer sur chaque droite son équation.

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Exercice 2

A, B et C sont trois points d'un cercle $𝒞$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe [BC] au point I et le cercle $𝒞$ en D.

1. Montrer que les triangles ABI et ADC sont semblables.

2. En déduire que $\mathrm{AI}\times \mathrm{AD}=\mathrm{AB}\times \mathrm{AC}$.

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Exercice 3

ABCD est un parallélogramme de centre O. Une droite d qui passe par O coupe [AB] en M et [DC] en N.

Démontrer que AM = NC

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Exercice 4

Soit $𝒞$ un cercle de centre O et de diamètre [IJ], $𝒞\prime$ le cercle de diamètre [OI].
M est un point du cercle $𝒞$ différent de I et J.
La droite (MI) coupe le cercle $𝒞\prime$ en S et la droite (MO) coupe le cercle $𝒞\prime$ en T.
La droite perpendiculaire à (IJ) passant par M coupe la droite (IT) en P.

1. Démontrer que les points P,O et S sont alignés.

2. Démontrer que S est le milieu du segment [IM].

3. Quelle est la nature du triangle IPM ?

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Exercice 5

1. Soit f une fonction définie sur $\left]0;5\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2$.

   1. Calculer $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

   2. Montrer que f admet un maximum sur $\left]0;5\right[$ .

   3. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f.
      Tracer la courbe $C_f$ dans un repère orthonormé (unités graphiques : 1 cm sur chaque axe).

   4. Par lecture graphique, donner le tableau des variations de la fonction f .

2. Soit M un point de la droite D d'équation $y=-x+5$, d'abscisse $x\in \left]0;5\right[$.

   1. Exprimer en fonction de x, l'ordonnée du point M.

   2. Exprimer en fonction de x l'aire $A\left(x\right)$ du rectangle MNOP.

   3. Vérifier que pour tout réel $x\in \left]0;5\right[$, $A\left(x\right)=f\left(x\right)$.

   4. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire $A\left(x\right)$ du rectangle MNOP est maximale. Quelle est alors la nature du rectangle ?

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Exercice 6

Soit f  la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4$, dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
La droite D d'équation $y=x+4$ est la représentation graphique de la fonction affine g.

1. La droite D coupe la courbe $C_f$ en trois points $A\left(x_A;0\right)$, $B\left(0;y_B\right)$ et $C\left(4;y_C\right)$. Calculer le plus simplement possible les coordonnées des points d'intersection. Les placer sur le repère.

2. À l'aide du graphique :

   1. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

   2. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

   3. Donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=4$.

3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)>4$.

4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4⩽x+4$. En déduire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g.

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