contrôle du 30 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction affine telle que $f\left(-6\right)=5$ et $f\left(3\right)=-1$

1. Déterminer l'expression de f en fonction de x.

   f est une fonction affine alors pour tout réel x, $f\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{f\left(3\right)-f\left(-6\right)}{3-\left(-6\right)}}={\displaystyle \frac{-1-5}{3+6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$

   D'où $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x-3\right)+f\left(3\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x-3\right)-1& \iff & f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3-1\\ & \iff & f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$

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2. Dans le plan muni du repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ donné en annexe, tracer la courbe représentative de la fonction f.

   La courbe représentative de la fonction affine f est la droite d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$. Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(-6;5\right)$ et $\left(3;-1\right)$.

3. Étudier le signe de la fonction f en fonction de x.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1<0& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x<-1\\ & \iff & x>{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   f est une fonction affine d'où le tableau du signe de f

   x	$-\infty$		1,5		$+\infty$
   Signe de f		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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4. Quels sont les antécédents éventuels de 2 ?

   Les antécédents éventuels de 2 sont les réels x solutions de l'équation $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=2& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1=2\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x=1\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   2 a pour antécédent $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

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5. Soit a et b deux réels tels que $a<b$, comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

   L'accroissement moyen de la fonction affine f est égal à $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ donc f est une fonction strictement décroissante.

   f est une fonction strictement décroissante donc pour tous réels a et b si $a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$

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6. Soit a et b deux réels tels que $a-b={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}$, calculer $f\left(a\right)-f\left(b\right)$.

   f est la fonction affine définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$ donc pour tous réels a et b distincts, ${\displaystyle \frac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. D'où $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & f\left(a\right)-f\left(b\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\ & \iff & f\left(a\right)-f\left(b\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{3}}\end{array}$$

   $f\left(a\right)-f\left(b\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{3}}$

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