contrôle du 16 mars 2009

exercice 1

Étudier la parité des fonctions suivantes :

1. f est définie sur l'intervalle $\left]-5;5\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{25-x^2}}$

2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2-x}{4+x^2}}$

3. f est définie sur $\left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-9}$

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exercice 2

1. Montrer que pour tout réel x, $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-3={\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{16}}$

2. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}⩾3$.

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exercice 3

La courbe $C_f$ représentative d'une fonction f a pour équation par $y={\displaystyle \frac{3}{x+1}}$. La courbe $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.

1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

2. 1. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right[$.

   2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$.

   3. Donner le tableau des variations de la fonction f.

3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-5\right)=-7$ et $g\left(3\right)=9$

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère othogonal donné en annexe.

4. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation ${\displaystyle \frac{3}{x+1}}⩽2x+3$. Interpréter graphiquement le résultat.

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