contrôles en terminale ES

contrôle du 05 avril 2006

Corrigé de l'exercice 1

La courbe $(𝒞_{f})$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ . On note $f'$ la fonction dérivée de f.
La courbe $(𝒞_{f})$ vérifie les propriétés suivantes :

Les points de coordonnées respectives $(- 2; 0)$ et $(0; 2)$ appartiennent à la courbe tracée ;
la tangente au point d'abscisse -1 est parallèle à l'axe des abscisses ;
la tangente au point d'abscisse 0 coupe l'axe des abscisses en $x = 2$ .

Donner une équation de la tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0.
la tangente T au point d'abscisse 0 coupe l'axe des abscisses en $x = 2$ , alors les points de coordonnées $(2; 0)$ et $(0; 2)$ appartiennent à la droite T.
La droite T n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées donc une équation de la droite T est de la forme $y = a x + b$ .
Avec $a = \frac{2 - 0}{0 - 2} = - 1$ et $b = 2$ .
La tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y = - x + 2$ .

Parmi les quatre représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée de f et une autre une primitive F de f sur $ℝ$ .
Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction F. Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.


Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4

Par lecture graphique, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $] - \infty; - 1]$ et srictement décroissante sur l'intervalle $[- 1; + \infty [$ . Par conséquent la dérivée de la fonction f est positive sur l'intervalle $] - \infty; - 1]$ et négative sur $[- 1; + \infty [$ .
Seule la figure 4 est susceptible d'être la représentation graphique de la courbe représentative de la fonction $f'$ .
Dire que F est une primitive de f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F' (x) = f (x)$ .
Donc le signe de f nous permet d'obtenir les variations des primitives F.
Or sur l'intervalle $] - 2; + \infty [$ , $f (x) > 0$ , par conséquent une primitive de f est strictement croissante sur cet intervalle.
Seule la figure 1 est susceptible d'être la représentation graphique de la courbe représentative de la fonction F.

On admet que la fonction f est définie par une expression de la forme $f (x) = (a x + b) e^{- x}$ où a et b sont des nombres réels.

En utilisant les propriétés de la courbe $(𝒞_{f})$ données au début de l'exercice, calculer a et b.
Le point de coordonnées $(- 2; 0)$ appartient à la courbe $(𝒞_{f})$ alors $f (- 2) = 0$ .
Soit $(- 2 a + b) e^{2} = 0 \Leftrightarrow - 2 a + b = 0$ .
Le point de coordonnées $(0; 2)$ appartient à la courbe $(𝒞_{f})$ alors $f (0) = 2$ .
Soit $b e^{0} = 2 \Leftrightarrow b = 2$ .
Ainsi a et b sont les solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} - 2 a + b = 0 \\ b = 2 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \end{matrix} \end{matrix}$
f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = (x + 2) e^{- x}$ .

Étudier les variations de la fonction f.

Pour étudier les variations de la fonction f, on étudie le signe de la dérivée $f'$ .

Pour tout réel x, on pose :

$u (x) = x + 2$ d'où $u' (x) = 1$ ; et $v (x) = e^{- x}$ d'où $v' (x) = - e^{- x}$ .

Ainsi $f = u v$ d'où $f' = u' v + u v'$ .

Donc pour tout réel x, $\begin{array}{l} f' (x) = e^{- x} - (x + 2) e^{- x} & \Leftrightarrow & f' (x) = (1 - x - 2) e^{- x} \\ \Leftrightarrow & f' (x) = - (x + 1) e^{- x} \end{array}$

Or pour tout tout réel x, $e^{- x} > 0$ donc $\begin{array}{l} f' (x) < 0 & \Leftrightarrow & - (x + 1) < 0 \\ \Leftrightarrow & x + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow & x > - 1 \end{array}$ et $\begin{array}{l} f' (x) = 0 & \Leftrightarrow & x = - 1 \end{array}$

Or $f (- 1) = (- 1 + 2) e^{1} = e$

D'où le tableau des variations de la fonction f :

x	$- \infty$		−1		$+ \infty$
Signe de $f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
Variations de f			$e$

Retrouver par le calcul une équation de la tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0.
Une équation de la tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0 est donnée par la relation : $y = f' (0) \times (x - 0) + f (0)$
Or $f (0) = 2$ et $f' (0) = - e^{- 0} = - 1$ .
Donc la tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y = - x + 2$ .

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