contrôles en terminale ES

contrôle du 05 avril 2006

thèmes abordés

Primitives d'une fonction.
Fonction exponentielle
Étude d'une fonction.

exercice 1

La courbe $(𝒞_{f})$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ . On note $f'$ la fonction dérivée de f.
La courbe $(𝒞_{f})$ vérifie les propriétés suivantes :

Les points de coordonnées respectives $(- 2; 0)$ et $(0; 2)$ appartiennent à la courbe tracée ;
la tangente au point d'abscisse -1 est parallèle à l'axe des abscisses ;
la tangente au point d'abscisse 0 coupe l'axe des abscisses en $x = 2$ .

Donner une équation de la tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0.

Parmi les quatre représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée de f et une autre une primitive F de f sur $ℝ$ .


Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction F. Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.

On admet que la fonction f est définie par une expression de la forme $f (x) = (a x + b) e^{- x}$ où a et b sont des nombres réels.
1. En utilisant les propriétés de la courbe $(𝒞_{f})$ données au début de l'exercice, calculer a et b.
2. Étudier les variations de la fonction f.
3. Retrouver par le calcul une équation de la tangente à la courbe $(𝒞_{f})$ au point d'abscisse 0.

exercice 2

(D'après LA RÉUNION 2000)

Au 1^er Janvier 2005, une entreprise s'est équipée d'un certain nombre de machines outils identiques, coûtant chacune à l'achat 400 000 €.

Au bout de t années, chacune se revend en ayant perdu chaque année un pourcentage de sa valeur de l'année précédente ; on désigne par $R (t)$ cette valeur de revente en milliers d'euros.

On modélise $R (t)$ par la fonction suivante, définie sur $[0; + \infty [$ par : $R (t) = 400 e^{- 0,3 t}$ . Quel est le pourcentage de perte si la machine est revendue au 1^er Janvier 2006?
On estime que l'entretien d'une machine coûte forfaitairement 20 000 €, pour toute l'utilisation jusqu'à sa revente. On désigne par $C (t)$ le coût total d'utilisation d'une machine au bout de t années en milliers d'euros. $C (t)$ est donné par : $C (t) = 420 - 400 e^{- 0,3 t}$ .
1. Calculer la limite de $C (t)$ en $+ \infty$ .
2. Calculer la dérivée de $C (t)$ et étudier son signe.
3. Étudier les variations de la fonction C pour $t \in [0; + \infty [$ .
Vérifier qu'au bout de 20 ans, le coût total est pratiquement égal au coût d'achat augmenté du coût d'entretien, à 1 000 € près.
L'entreprise décide de revendre les machines dès que le coût total d'utilisation d'une machine dépasse 330 000 €.
1. Résoudre l'inéquation $C (t) > 330$ . Donner la réponse en nombre entier d'années.
2. Pour des raisons comptables, l'entreprise revend ses machines au mois de janvier. En quelle année doit-elle le faire ?
  Quel sera le prix de revente d'une machine à cette date ? (On donnera la meilleure approximation de ce prix en nombre entier de milliers d'euros.)

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