bac blanc du 31 janvier 2006

exercice 1 : commun à tous les candidats

Deux types de maladies A ou B affectent les animaux d'un pays. On estime que :
3 % des animaux sont atteints de la maladie A et de la maladie B ;
12 % des animaux sont atteints seulement de la maladie A ;
8 % des animaux sont atteints de la maladie B.

On prend un animal de ce pays au hasard.

première partie

1. Calculer la probabilité que cet animal soit atteint seulement de la maladie B.

2. Calculer la probabilité que cet animal ne soit atteint ni de la maladie A ni de la maladie B.

deuxième partie

Un test permettant de détecter si un animal est malade est disponible sur le marché :

• Quand un animal est malade le test est positif dans 95% des cas.
• 98% des animaux sains ne réagissent pas au test.

Dans la suite de l'exercice on considère que 80% des animaux ne sont pas malades.

On note :
M l'évènement : « l'animal est malade » et $\overline{M}$ l'évènement contraire.
T l'évènement : « le test effectué sur l'animal est positif » et $\overline{T}$ l'évènement contraire.

1. Quelle est la probabilité pour un animal d'être malade et de réagir au test ?

2. On prend un animal au hasard et on lui fait passer le test quelle est la probabilité pour que le test soit positif ?

3. Quelle est la probabilité pour un animal d'être malade si le test est positif ?

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exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

D'après sujet septembre 2006

Une enquête menée pour le compte d’une entreprise a permis d’établir le nombre d’acheteurs d’un produit A selon le montant de son prix de vente.
Les résultats de l’enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous dans lequel :

• x_i désigne le prix de vente unitaire (en euros) du produit A;
• y_i le nombre d’acheteurs en milliers.

xi	1	1,50	2	3	4
yi	3,75	2,8	2	1	0,5

1. Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1 euro en abscisse et 2 cm pour 1 000 acheteurs en ordonnée).

2. On recherche un ajustement affine de la série $\left(x_i;y_i\right)$.

   1. Donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
      Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au centième ; on ne demande aucune justification.

   2. Tracer cette droite dans le même repère que précédemment.

   3. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.

3. La forme du nuage permet d’envisager un ajustement à l’aide d’une parabole. On pose $z_i={\left(\mathrm{0,75}{x}_i-\mathrm{3,16}\right)}^2$

   1. Donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en z par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^- 3près).

   2. Vérifier que la nouvelle estimation de y en fonction de x est donnée par $y=\mathrm{0,313}{x}^2-\mathrm{2,64}x+\mathrm{6,062}$ (les coefficients sont arrondis à 10^- 3près).

   3. En utilisant cet ajustement, donner une nouvelle estimation du nombre d’acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.

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exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique deux modèles X et Y d’un même produit. Le bénéfice réalisé par la vente de ces produits est modélisé par $$B\left(x;y\right)=-x^2+600x-2xy+800y-2y^2$$ où $B\left(x;y\right)$ est le montant en euros du bénéfice annuel pour une production mensuelle de x articles du modèle X et de y articles du modèle Y.

On suppose que chaque article produit peut être vendu sur le marché.

La capacité de production mensuelle de l'entreprise est de 300 articles et on cherche à déterminer la répartition de la production entre les deux modèles X et Y permettant de maximiser les profits.

1. Calculer le montant du bénéfice dans le cas où :

   1. la production du modèle X est de 100 unités ;

   2. la production du modèle X est de 150 unités.

2. Sous la contrainte de production $x+y=300$.

   1. Montrer que le montant du bénéfice en fonction de x est donné par $f\left(x\right)=-x^2+400x+60000$ .

   2. Étudier les variations de la fonction f. En déduire le nombre d’articles X qui assure un bénéfice maximum.

   3. Donner la répartition de la production mensuelle permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du bénéfice maximal.

3. Le patron de l'entreprise se demande si une augmentation de la production à 500 unités n’engendrerait pas une augmentation des bénéfices.

   La figure ci-dessous représente les courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (xOy) de la surface S d’équation $$z=-x^2+600x-2xy+800y-2y^2$$ pour z variant de 20 000 en 20 000.

   1. Représenter sur la figure la contrainte $x+y=500$.

   2. Graphiquement quel est le bénéfice maximum que ce patron peut espérer obtenir ? Que faut-il conclure ?

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exercice 3 : commun à tous les candidats

Soit u la fonction définie sur $ℝ$ par : $u\left(x\right)=-x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

1. Étudier le signe de $u\left(x\right)$

2. Soit f la fonction définie sur $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};1[$ par $f\left(x\right)=\ln \left(-x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

   1. Justifiez que l’ensemble de définition de la fonction f est l’intervalle $]-{\displaystyle \frac{3}{2}};1[$.

   2. On note ${𝒞}_f$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal , montrer que ${𝒞}_f$ admet deux asymptotes verticales.

3. On note f ' la dérivée de la fonction f , calculer $f\prime \left(x\right)$ .

4. Étudier le sens de variation de la fonction f.

5. Résoudre l’équation $f\left(x\right)=0$.

6. Donner une équation de la tangente T à la courbe en son point d’abscisse -1.

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exercice 4 : commun à tous les candidats

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1) F est la primitive d’une fonction f définie sur $ℝ$ qui vaut 1 quand x est égal à 1. La primitive G de la fonction f qui vaut 2 quand x est égal à 1 est :	$G\left(x\right)=F\left(x\right)+2$ $G\left(x\right)=2F\left(x\right)$ $G\left(x\right)=F\left(x\right)+1$
2) f est une fonction définie et strictement positive sur $ℝ$ dont la dérivée est $f\prime \left(x\right)=x-2$. La fonction $\ln \left(f\right)$ est :	strictement croissante sur $ℝ$ croissante sur $]-\infty ;2]$ décroissante sur $]-\infty ;2]$
3) Une primitive de la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=\ln x-1$, est la fonction F définie sur $]0;+\infty [$ par :	$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}-x$ $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-2x$ $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+x$

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