contrôles en terminale ES

contrôle du 04 avril 2006

thèmes abordés

  • Primitives d'une fonction.
  • Fonction exponentielle
  • Étude d'une fonction.

exercice 1

La courbe (𝒞f) ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur dans le repère orthonormé (O;𝚤,ȷ). On note f la fonction dérivée de f.
La courbe (𝒞f) vérifie les propriétés suivantes :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner une équation de la tangente à la courbe (𝒞f) au point d'abscisse 0.

  2. Parmi les quatre représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée de f et une autre une primitive F de f sur .

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Figure 1Figure 2Figure 3Figure 4

    Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F. Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.

  3. On admet que la fonction f est définie par une expression de la forme f(x)=(ax+b)e-xa et b sont des nombres réels.

    1. En utilisant les propriétés de la courbe (𝒞f) données au début de l'exercice, calculer a et b.

    2. Étudier les variations de la fonction f.

    3. Retrouver par le calcul une équation de la tangente à la courbe (𝒞f) au point d'abscisse 0.


exercice 2

(D'après LA RÉUNION 2000)

Au 1er Janvier 2005, une entreprise s'est équipée d'un certain nombre de machines outils identiques, coûtant chacune à l'achat 400 000 €.

Au bout de t années, chacune se revend en ayant perdu chaque année un pourcentage de sa valeur de l'année précédente ; on désigne par R(t) cette valeur de revente en milliers d'euros.

  1. On modélise R(t) par la fonction suivante, définie sur [0;+[ par : R(t)=400e-0,3t. Quel est le pourcentage de perte si la machine est revendue au 1er Janvier 2006?

  2. On estime que l'entretien d'une machine coûte forfaitairement 20 000 €, pour toute l'utilisation jusqu'à sa revente. On désigne par C(t) le coût total d'utilisation d'une machine au bout de t années en milliers d'euros. C(t) est donné par : C(t)=420-400e-0,3t.

    1. Calculer la limite de C(t) en +.

    2. Calculer la dérivée de C(t) et étudier son signe.

    3. Étudier les variations de la fonction C pour t[0;+[.

  3. Vérifier qu'au bout de 20 ans, le coût total est pratiquement égal au coût d'achat augmenté du coût d'entretien, à 1 000 € près.

  4. L'entreprise décide de revendre les machines dès que le coût total d'utilisation d'une machine dépasse 330 000 €.

    1. Résoudre l'inéquation C(t)>330 . Donner la réponse en nombre entier d'années.

    2. Pour des raisons comptables, l'entreprise revend ses machines au mois de janvier. En quelle année doit-elle le faire ?
      Quel sera le prix de revente d'une machine à cette date ? (On donnera la meilleure approximation de ce prix en nombre entier de milliers d'euros.)



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