contrôle du 18 mars 2006

exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question. L'absence de réponse à une question ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Une loi de probabilité d'espérance μ, de variance V et d’écart type σ est définie par le tableau ci-dessous. x i - 1 0 2 4 p i 0,3 0,2 0,1 0,4 On a alors :	$\mu =\mathrm{1,25}$ $V=\mathrm{4,85}$ $\sigma ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$
2) Soient A et B deux événements indépendants. On donne : $p\left(\mathrm{A}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $p\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ On a alors :	$p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{7}{12}}$ $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{1}{12}}$ $p\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$
3) x et y sont deux réels :	${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y={\mathrm{e}}^{x+y}$ ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y=1\iff x=-y$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}}={\displaystyle \frac{x}{y}}$
4) L'équation $\ln x=-1$ :	a pour solution $x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ a pour solution $x=-\mathrm{e}$ n'a pas de solution
5) L'équation ${\mathrm{e}}^{\ln x}=-1$ :	a pour solution $x=-1$ a pour solution $x=-\mathrm{e}$ n'a pas de solution

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exercice 2

Pour chacune des fonctions f suivantes, trouver une primitive sur l’intervalle donné :

1. Sur $\left]1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=x+{\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}$

2. Sur $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=1-x^2+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$

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exercice 3

1. Déterminer le plus grand entier naturel n tel que ${\mathrm{e}}^{1-\mathrm{0,5}n}⩾\mathrm{0,1}$

2. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,03}n+2}⩾10$

3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\mathrm{e}}^{2x}\times {\mathrm{e}}^{3x-1}⩾2$

4. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $-2x^2+5x+3=0$. En déduire les solutions de :

   1. l'équation $-2{\mathrm{e}}^{2x}+5{\mathrm{e}}^x+3=0$

   2. l'inéquation $-2{\mathrm{e}}^{2x}+5{\mathrm{e}}^x+3<0$

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exercice 4

(D'après sujet Bac ES Amérique du Sud Novembre 2004)

Un magasin vend des salons de jardin. Une enquête statistique a montré que :

• 10% des personnes qui entrent dans le magasin achètent une table ;
• parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent un lot de chaises ;
• parmi les personnes qui n'achètent pas de table, 10% achètent un lot de chaises.

Une personne entre dans le magasin.
On note T l'évènement : « La personne achète une table »
On note C l'évènement : « La personne achète un lot de chaises »

1. Traduire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau la situation décrite ci-dessus.

2. Montrer que la probabilité que la personne achète un lot de chaises est égale à 0,17.

3. Quelle est la probabilité que la personne n'achète pas de table sachant qu'elle a acheté un lot de chaises ?

4. On choisit au hasard cinq clients et on suppose qu'ils ont fait leurs choix dans les mêmes conditions et de façon indépendante. Calculer la probabilité que l'un d'eux, au moins, ait acheté un lot de chaises.

5. À la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu'il a réalisé en moyenne un bénéfice de 11,80 € par personne entrant dans le magasin.
   On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50 € par table vendue.

   On appelle x le bénéfice exprimé en euros qu'il a réalisé par lot de chaises vendues. On se propose de calculer x.

   1. Reproduire et compléter le tableau suivant définissant la loi de probabilité « montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin».

      Montant du bénéfice	0	50	x	$50+x$
      Probabilité

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   2. Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est égale à $5+\mathrm{0,17}x$

   3. Conclure.

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exercice 5

Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2\ln \left(x\right)-2$, dont le tableau de variations, incomplet est le suivant :

x		0			${\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$		$+\infty$
Signe de $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
Variations de f			− 2		$f\left({\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)$

On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f et on note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥})$.

1. Justifier par le calcul, le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur chacun des intervalles $\left]0;{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right[$ et $\left]{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}};+\infty \right[$.

2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

3. Indiquer, en justifiant la réponse à l’aide du tableau de variations, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse :
   «La courbe représentative de f admet, dans le plan muni d’un repère orthonormal, une asymptote verticale d’équation x = 0».

4. Calculer la valeur exacte de $f\left({\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)$.

5. À l’aide de ce tableau de variations, indiquer le nombre de solutions de l’équation $f\left(x\right)=0$ dans l’intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Si ces solutions existent, donner pour chacune d’elles la valeur décimale approchée arrondie au centième.

6. Donner une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d’abscisse $\sqrt{\mathrm{e}}$.

7. Indiquer, en justifiant la réponse , si l’affirmation suivante est vraie ou fausse :
   «Toute primitive de f est strictement croissante sur l’intervalle $\left]{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}};+\infty \right[$».

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