contrôles en terminale ES

bac blanc du 14 mai 2006

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux opérateurs de téléphonie ont l'exclusivité du marché d'un pays. On admet que d'une année sur l'autre le nombre d'abonnés au téléphone de ce pays est stable.

Une enquête statistique réalisée sur les années 2002 à 2005 a conduit au modèle suivant :
À partir de 2005 on prévoit que d'une année sur l'autre, la société A, conservera 85% de sa clientèle et récupèrera 10% des clients de la société concurrente, notée B.

En se basant sur ce modèle, pour tout entier naturel n, on note pour l'année (2005 + n) :

$a_{n}$ la part de marché de la société A ;
$b_{n}$ la part de marché de la société B.

On a donc $b_{n} = 1 - a_{n}$ .

En 2005, la part de marché de la société A est égale à 60% . On a donc $a_{0} = 0,6$ .

Calculer la part de marché de la société A en 2006.
La part de marché de la société A en 2006 est : $\begin{array}{l} a_{1} & = & 0,85 \times a_{0} + 0,1 \times b_{0} \\ = & 0,85 & \times & 0,6 & + & 0,1 & \times & 0,4 \\ = & 0,55 \end{array}$
En 2006, la part de marché de la société A est égale à 55%.
Montrer que : pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,1$ .
D'une année sur l'autre, la société A, conserve 85% de sa clientèle et récupère 10% des clients de la société concurrente alors, $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n}$
Or $b_{n} = 1 - a_{n}$ donc $\begin{array}{l} a_{n + 1} & = & 0,85 a_{n} + 0,1 (1 - a_{n}) \\ = & 0,85 a_{n} + 0,1 - 0,1 a_{n} \end{array}$
Pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,1$ .
On pose pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,4$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Montrons qu'il existe un réel q tel que : $u_{n + 1} = q u_{n}$ pour tout entier n. (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,4 \\ = & 0,75 a_{n} + 0,1 - 0,4 \\ = & 0,75 a_{n} - 0,3 \\ = & 0,75 (a_{n} - 0,4) \\ = & 0,75 u_{n} \end{array}$
  Ainsi pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n}$ , alors la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
  Or $u_{0} = a_{0} - 0,4 = 0,6 - 0,4 = 0,2$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de terme initial 0,2.
2. Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de n.
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = 0,2$ et de raison $q = 0,75$ alors d'après , la propriété des suites géométriques : Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} u^{n - p}$ avec $p \in ℕ$ .
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,2 \times {(0,75)}^{n}$
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 0,2 \times {0,75}^{n} + 0,4$ .
  Pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,4$ , d'où $a_{n} = u_{n} + 0,4$ .
  Donc pour tout entier naturel n, $a_{n} = 0,2 \times {0,75}^{n} + 0,4$ .
4. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.
  Pour calculer la limite de la suite $(a_{n})$ nous sommes amenés à déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = 0,2 \times {0,75}^{x} + 0,4$ . (Voir le théorème)Soit f une fonction définie sur $[0; + \infty [$ et $(u_{n})$ la suite définie sur $ℕ$ par $u_{n} = f (n)$ .
  Si la fonction f a une limite en $+ \infty$ , alors la suite $(u_{n})$ a une limite et, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = \lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
  $0 < 0,75 < 1$ donc : $\lim_{x \to + \infty} {(0,75)}^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} 0,2 \times {0,75}^{x} + 0,4 = 0,4$
  La limite de la suite $(a_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ est égale à 0,4. À long terme la part de marché de la société A se stablisera à 40%.
On admet qu'en 2013, la part de marché de la société A est de 42%. On interroge quatre habitants ayant un téléphone choisis au hasard. Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre soit client de la société A en 2013.
Interroger un habitant ayant le téléphone au hasard est une épreuve de Bernoulli dont les deux issues, choisir la société A (succès) ou son concurrent B (échec) ont pour probabilités respectives 0,42 et 0,58.
Interroger quatre habitants ayant le téléphone choisis au hasard et indépendamment les uns des autres, est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de succès est une loi binomiale de paramètres 0,42 et 0,58.
L'évènement "au moins un des quatre habitants ayant le téléphone a choisi la société A" est l'évènement contraire de l'évènement "les quatre habitants ont choisi la compagnie B".
Or la probabilité d'obtenir quatre échecs consécutifs est : ${(0,58)}^{4}$ .
Par conséquent la probabilité d'obtenir au moins un succès est : $1 - {0,58}^{4}$ .
La probabilité qu'au moins un des quatre habitants ayant le téléphone soit client de la société A en 2013 est 0,8868 (arrondie à 10^-4).

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